∵8³=512＞371，m³+n=371，
∴m≤7，
又∵正整數(shù)m和n有大于1的公約數(shù)，
∴1＜m≤7，
①當m=2時，m³=8，故n=263，而2和263的公約數(shù)最大是1，不符合條件；
②當m=3時，m³=27，故n=244，而3和244的公約數(shù)最大是1，不符合條件；
③當m=4時，m³=64，故n=307，而4和307的公約數(shù)最大是1，不符合條件；
④當m=5時，m³=125，故n=246，而5和246的公約數(shù)最大是1，不符合條件；
⑤當m=6時，m³=216，故n=155，而6和155的公約數(shù)最大是1，不符合條件；
⑥當m=7時，m³=343，故n=28，而7和28的公約數(shù)最大是7，符合條件，故m=7，n=28，所以mn=196．
故答案是196．