數(shù)學高一必修一基本公式
集合與函數(shù)概念
一,集合有關(guān)概念
1,集合的含義:某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素.
2,集合的中元素的三個特性:
1.元素的確定性; 2.元素的互異性; 3.元素的無序性
說明:(1)對于一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素.
(2)任何一個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素.
(3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣.
(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性.
3,集合的表示:{ … } 如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1. 用拉丁字母表示集合:a={我校的籃球隊員},b={1,2,3,4,5}
2.集合的表示方法:列舉法與描述法.
注意啊:常用數(shù)集及其記法:
非負整數(shù)集(即自然數(shù)集) 記作:n
正整數(shù)集 n*或 n+ 整數(shù)集z 有理數(shù)集q 實數(shù)集r
關(guān)于"屬于"的概念
集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合a的元素,就說a屬于集合a 記作 a∈a ,相反,a不屬于集合a 記作 a(a
列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個大括號括上.
描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法.用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法.
①語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②數(shù)學式子描述法:例:不等式x-3]2的解集是{x(r| x-3]2}或{x| x-3]2}
4,集合的分類:
1.有限集 含有有限個元素的集合
2.無限集 含有無限個元素的集合
3.空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二,集合間的基本關(guān)系
1."包含"關(guān)系—子集
注意:有兩種可能(1)a是b的一部分,;(2)a與b是同一集合.
反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,記作ab或ba
2."相等"關(guān)系(5≥5,且5≤5,則5=5)
實例:設(shè) a={x|x2-1=0} b={-1,1} "元素相同"
結(jié)論:對于兩個集合a與b,如果集合a的任何一個元素都是集合b的元素,同時,集合b的任何一個元素都是集合a的元素,我們就說集合a等于集合b,即:a=b
① 任何一個集合是它本身的子集.a(a
②真子集:如果a(b,且a( b那就說集合a是集合b的真子集,記作ab(或ba)
③如果 a(b, b(c ,那么 a(c
④ 如果a(b 同時 b(a 那么a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為φ
規(guī)定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.
三,集合的運算
1.交集的定義:一般地,由所有屬于a且屬于b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集.
記作a∩b(讀作"a交b"),即a∩b={x|x∈a,且x∈b}.
2,并集的定義:一般地,由所有屬于集合a或?qū)儆诩蟗的元素所組成的集合,叫做a,b的并集.記作:a∪b(讀作"a并b"),即a∪b={x|x∈a,或x∈b}.
3,交集與并集的性質(zhì):a∩a = a, a∩φ= φ, a∩b = b∩a,a∪a = a,a∪φ= a ,a∪b = b∪a.
4,全集與補集
(1)補集:設(shè)s是一個集合,a是s的一個子集(即),由s中所有不屬于a的元素組成的集合,叫做s中子集a的補集(或余集)
記作: csa 即 csa ={x ( x(s且 x(a}
(2)全集:如果集合s含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集.通常用u來表示.
(3)性質(zhì):⑴cu(c ua)=a ⑵(c ua)∩a=φ ⑶(cua)∪a=u
必修四
公式一：
設(shè)α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
設(shè)α為任意角,π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α與 -α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
誘導(dǎo)公式記憶口訣
※規(guī)律總結(jié)※
上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為：
對于k·π/2±α(k∈Z)的個三角函數(shù)值,
①當k是偶數(shù)時,得到α的同名函數(shù)值,即函數(shù)名不改變；
②當k是奇數(shù)時,得到α相應(yīng)的余函數(shù)值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
（奇變偶不變）
然后在前面加上把α看成銳角時原函數(shù)值的符號.
（符號看象限）
例如：
sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α),k＝4為偶數(shù),所以取sinα.
當α是銳角時,2π－α∈(270°,360°),sin(2π－α)＜0,符號為“－”.
所以sin(2π－α)＝－sinα
上述的記憶口訣是：
奇變偶不變,符號看象限.
公式右邊的符號為把α視為銳角時,角k·360°+α（k∈Z）,-α、180°±α,360°-α
所在象限的原三角函數(shù)值的符號可記憶
水平誘導(dǎo)名不變；符號看象限.
各種三角函數(shù)在四個象限的符號如何判斷,也可以記住口訣“一全正；二正弦；三為切；四余弦”．
這十二字口訣的意思就是說：
第一象限內(nèi)任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“＋”；
第二象限內(nèi)只有正弦是“＋”,其余全部是“－”；
第三象限內(nèi)切函數(shù)是“＋”,弦函數(shù)是“－”；
第四象限內(nèi)只有余弦是“＋”,其余全部是“－”．
其他三角函數(shù)知識：
同角三角函數(shù)基本關(guān)系
⒈同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
倒數(shù)關(guān)系:
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的關(guān)系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
平方關(guān)系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法
六角形記憶法：（參看圖片或參考資料鏈接）
構(gòu)造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中間1"的正六邊形為模型.
（1）倒數(shù)關(guān)系：對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù)；
（2）商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積.
（主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積）.由此,可得商數(shù)關(guān)系式.
（3）平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中,上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平方.
兩角和差公式
⒉兩角和與差的三角函數(shù)公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα ·tanβ
tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ·tanβ
倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)
2tanα
tan2α＝—————
1－tan^2(α)
半角公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴角公式）
1－cosα
sin^2(α/2)＝—————
2
1＋cosα
cos^2(α/2)＝—————
2
1－cosα
tan^2(α/2)＝—————
1＋cosα
萬能公式
⒌萬能公式
2tan(α/2)
sinα＝——————
1＋tan^2(α/2)
1－tan^2(α/2)
cosα＝——————
1＋tan^2(α/2)
2tan(α/2)
tanα＝——————
1－tan^2(α/2)
萬能公式推導(dǎo)
附推導(dǎo)：
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α)).*,
（因為cos^2(α)+sin^2(α)=1）
再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α))
然后用α/2代替α即可.
同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式.正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到.
三倍角公式
⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
3tanα－tan^3(α)
tan3α＝——————
1－3tan^2(α)
三倍角公式推導(dǎo)
附推導(dǎo)：
tan3α＝sin3α/cos3α
＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α),得：
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))
sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα
＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)
＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))
＝4cos^3(α)－3cosα
即
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
三倍角公式聯(lián)想記憶
記憶方法：諧音、聯(lián)想
正弦三倍角：3元 減 4元3角（欠債了(被減成負數(shù)),所以要“掙錢”(音似“正弦”)）
余弦三倍角：4元3角 減 3元（減完之后還有“余”）
☆☆注意函數(shù)名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示.
和差化積公式
⒎三角函數(shù)的和差化積公式
α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin—----·cos—---
2 2
α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos—----·sin—----
2 2
α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—-----·cos—-----
2 2
α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin—-----·sin—-----
2 2
積化和差公式
⒏三角函數(shù)的積化和差公式
sinα ·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα ·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα ·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα ·sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]
和差化積公式推導(dǎo)
附推導(dǎo)：
首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
這樣,我們就得到了積化和差的四個公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
好,有了積化和差的四個公式以后,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式.
我們把上述四個公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
向量的運算
加法運算
AB＋BC＝AC,這種計算法則叫做向量加法的三角形法則.
已知兩個從同一點O出發(fā)的兩個向量OA、OB,以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB,則以O(shè)為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和,這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則.
對于零向量和任意向量a,有：0＋a＝a＋0＝a.
|a＋b|≤|a|＋|b|.
向量的加法滿足所有的加法運算定律.
減法運算
與a長度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,－(－a)＝a,零向量的相反向量仍然是零向量.
（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b).
數(shù)乘運算
實數(shù)λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作λa,|λa|＝|λ||a|,當λ > 0時,λa的方向和a的方向相同,當λ < 0時,λa的方向和a的方向相反,當λ = 0時,λa = 0.
設(shè)λ、μ是實數(shù),那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ + μ)a = λa + μa（3）λ(a ± b) = λa ± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a).