1、f(x)=(ax+b)/(1+x^2)
因為：f(x)是奇函數(shù),
所以：f(0)=b=0,即：f(x)=ax/(1+x^2).
又因為f(1/2)=2/5
所以：a(1/2)/(1+(1/2)^2)=2/5
即：a(1/2)/(1+1/4)=a(2/5)=2/5
所以：a=1
所以,所求解析式為：f(x)=x/(1+x^2).
2、設(shè)x1＜x2,且x1,x2∈(-1,1)
f(x2)-f(x1)=x2/(1+x2^2)-x1/(1+x1^2)
=[x2(1+x1^2)-x1(1+x2^2)]/[(1+x1^2)(1+x2^2)]
顯然,上式中分母＞0,我們只需考查分子.
分子=x2+x2(x1^2)-x1-x1(x2^2)
=(x2-x1)-x1x2(x2-x1)
=(x2-x1)(1-x1x2)
因為x1,x2∈(-1,1),所以x1x2＜1,即：1-x1x2＞0
又因為x1＜x2,所以x2-x1＞0
所以：當x2＞x1時,f(x2)＞f(x1)
即：在(-1,1)定義域內(nèi),f(x)是增函數(shù).
補充答案：
呵呵,樓主提出了第三問.那我就試試.
3、解不等式f(t-1)+f(t)＜0
解法一：因為：f(x)=x/(1+x^2).
所以不等式變?yōu)椋?br/>(t-1)/(1+(t-1)^2)+t/(1+t^2)＜0
[(t-1)(t^2+1)+t((t-1)^2+1)]/[(1+(t-1)^2)(1+t^2)]＜0
因為分母＞0,
所以(t-1)(t^2+1)+t((t-1)^2+1)＜0
即：2t^3-3t^2+3t-1＜0
t^3+(t-1)^3＜0
t^3-(1-t)^3＜0
因為t-1,t∈(-1,1),所以t∈(0,1).
所以上述不等式變?yōu)?br/>t^3＜(1-t)^3
t＜1-t
2t＜1
t＜1/2
前面我們有t∈(0,1),
所以,不等式的解為：
0＜t＜1/2
解法二：因為f(x)是奇函數(shù),即：f(-x)=-f(x)
所以不等式變?yōu)閒(t-1)＜f(-t)
又因為：f(x)=x/(1+x^2)
所以：(t-1)/(1+(t-1)^2)＜-t/(1+t^2)
(t-1)(t^2+1)＜-t((t-1)^2+1)
t^3-t^2+t-1＜-t^3+2t^2-2t
t^3＜-(t^3-3t^2-3t-1)
t^3＜-(t-1)^3
t＜-(t-1)
所以：t＜1/2.
又因為：對于f(x),有x∈(-1,1).
所以：t-1,t∈(-1,1),即：t∈(0,1).
所以,不等式的解為：0＜t＜1/2
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