§5因式分解定理
一、不可約多項式
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定義8 數(shù)域 上次數(shù) 的多項式 稱為域 上的不可約多項式(irreducible polynomical),如果它不能表成數(shù)域 上的兩個次數(shù)比 的次數(shù)低的多項式的乘積.
根據(jù)定義,一次多項式總是不可約多項式.
一個多項式是否可約是依賴于系數(shù)域的.
顯然,不可約多項式 的因式只有非零常數(shù)與它自身的非零常數(shù)倍 這兩種,此外就沒有了.反過來,具有這個性質(zhì)的次數(shù) 的多項式一定是不可約的.由此可知,不可約多項式 與任一多項式 之間只可能有兩種關(guān)系,或者 或者 .
定理5 如果 是不可約多項式,那么對于任意的兩個多項式 ,由 一定推出 或者 .
推廣：如果不可約多項式 整除一些多項式 的乘積 ,那么 一定整除這些多項式之中的一個.
二、因式分解定理
因式分解及唯一性定理 數(shù)域 上次數(shù) 的多項式 都可以唯一地分解成數(shù)域 上一些不可約多項式的乘積.所謂唯一性是說,如果有兩個分解式
,
那么必有 ,并且適當(dāng)排列因式的次序后有
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其中 是一些非零常數(shù).
應(yīng)該指出,因式分解定理雖然在理論上有其基本重要性,但是它并沒有給出一個具體的分解多項式的方法.實際上,對于一般的情形,普遍可行的分解多項式的方法是不存在的.
在多項式 的分解式中,可以把每一個不可約因式的首項系數(shù)提出來,使它們成為首項系數(shù)為1的多項式,再把相同的不可約因式合并.于是 的分解式成為
,
其中 是 的首項系數(shù), 是不同的首項系數(shù)為1的不可約多項式,而 是正整數(shù).這種分解式稱為標(biāo)準(zhǔn)分解式.
如果已經(jīng)有了兩個多項式的標(biāo)準(zhǔn)分解,就可以直接寫出兩個多項式的最大公因式.多項式 與 的最大公因式 就是那些同時在 與 的標(biāo)準(zhǔn)分解式中出現(xiàn)的不可約多項式方冪的乘積,所帶的方冪的指數(shù)等于它在 與 中所帶的方冪中較小的一個.
由以上討論可以看出,帶余除法是一元多項式因式分解理論的基礎(chǔ).
若 與 的標(biāo)準(zhǔn)分解式中沒有共同的不可約多項式,則 與 互素.
注意：上述求最大公因式的方法不能代替輾轉(zhuǎn)相除法,因為在一般情況下,沒有實際分解多項式為不可約多項式的乘積的方法,即使要判斷數(shù)域 上一個多項式是否可約一般都是很困難的.
例 在有理數(shù)域上分解多項式 為不可約多項式的乘積.