已知直角梯形OABC在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CO

已知直角梯形OABC在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CO向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)

動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒；
①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半；
②當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OAMN的面積最小，并求出最小面積；
③若另有一動(dòng)點(diǎn)P，在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，也從點(diǎn)A出發(fā)沿AO運(yùn)動(dòng)．在②的條件下，PM+PN的長(zhǎng)度也剛好最小，求動(dòng)點(diǎn)P的速度．

數(shù)學(xué)人氣：626 ℃時(shí)間：2020-03-17 23:14:37

優(yōu)質(zhì)解答

（1）作BD⊥OC于D，
則四邊形OABD是矩形，
∴OD=AB=10，
∴CD=OC-OD=12，
∴OA=BD=

BC2-CD2

=9，
∴B（10，9）；
（2）①由題意知：AM=t，ON=OC-CN=22-2t，
∵四邊形OAMN的面積是梯形OABC面積的一半，
∴

(t+22-2t)×9=

(10+22)×9，
∴t=6，
②設(shè)四邊形OAMN的面積為S，則s=

(t+22-2t)×9=-

t+99，
∵0<t≤10，且s隨t的增大而減小，
∴當(dāng)t=10時(shí)，s最小，最小面積為54．
③如備用圖，取N點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接MN′交AO于點(diǎn)P，

此時(shí)PM+PN=PM+PN′=MN′長(zhǎng)度最?。?BR>當(dāng)t=10時(shí)，AM=t=10=AB，ON=22-2t=2，
∴M（10，9），N（2，0），
∴N′（-2，0）；
設(shè)直線MN′的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則

10k+b=9

-2k+b=0

，
解得

，
∴P（0，

），
∴AP=OA-OP=

，
∴動(dòng)點(diǎn)P的速度為

÷10=

個(gè)單位長(zhǎng)度/秒．

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