第一題：
∵ x³-3x²+5x=(x-1)³+2(x-1)+3
∴ (a-1)³+2(a-1)+3=1 …… ①
(b-1)³+2(b-1)+3=5 …… ②
①+②得：令a-1 = m ； b-1 = n
m³+2m+n³+2n=0
(m+n)[m²-mn+n²]+2(m+n)=0
(m+n)[m²-mn+n²+2]=0
∵m²-mn+n² > 0 恒成立
∴ m+n=0
即：a-1+b-1= 0
∴ a+b = 2
第二題
由柯西不等式
[(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+.+(an+a1)]*[a1^2/(a1+a2)+a2^2/(a2+a3)+……+an^2/(an+a1)]
≥ [√(a1^2)+√(a2^2)+...+√(an^2)]^2
即：
2*[a1^2/(a1+a2)+a2^2/(a2+a3)+……+an^2/(an+a1)]
≥(a1+a2+……+an)^2=1
所以：
a1^2/(a1+a2)+a2^2/(a2+a3)+……+an^2/(an+a1)≥1/2