這個(gè)道理十分簡(jiǎn)單,任何數(shù)x包括1,用N去除,如果是無(wú)限小數(shù),一定是循環(huán)小數(shù),循環(huán)節(jié)數(shù)小于N-1.
如果是無(wú)限小數(shù),表明x不能被N除盡,在一系列無(wú)窮盡的做除法的過(guò)程中,每一步將產(chǎn)生余數(shù),而產(chǎn)生的余數(shù)僅能是1,2,...,N-1這些數(shù),在無(wú)窮盡的相除過(guò)程中,余數(shù)必定要重復(fù)出現(xiàn),兩個(gè)相同余數(shù)出現(xiàn)意味著后面運(yùn)算將出現(xiàn)重復(fù),即第2次出現(xiàn)同一余數(shù)時(shí)后面產(chǎn)生的小數(shù)(商)與第1次出現(xiàn)產(chǎn)生的小數(shù)完全相同.由于余數(shù)不超過(guò)N-1,故兩次出現(xiàn)余數(shù)相同也不會(huì)超過(guò)N-1,故在相除過(guò)程中產(chǎn)生的無(wú)限小數(shù)必定循環(huán)且循環(huán)節(jié)數(shù)小于N-1.