由積分中值定理
∫(a→b)f(x)dx=(b-a)f(ξ) a<ξ又f(x)在[a,b]上二階可導(dǎo)且f'(x)>0則
f(a)
(b-a)f(a)<(b-a)f(ξ) a<ξ又 f''(x)>0
∴ f(x)在[a,b]上為嚴格上凹函數(shù)
∴ f(ξ)<[f(a)+f(b)]/2 a<ξ
(b-a)f(ξ)<(b-a)[f(a)+f(b)]/2 a<ξ由①②③得
(b-a)f(a)<∫(a→b)f(x)dx)<(b-a)[f(a)+f(b)]/2
設(shè)f(x)在[a,b]二階可導(dǎo),f'(x)>0,f''(x)>0,證明：(b-a)f(a)b)f(x)dx
設(shè)f(x)在[a,b]二階可導(dǎo),f'(x)>0,f''(x)>0,證明：(b-a)f(a)<∫(a->b)f(x)dx<(b-a)[f(a)-f(b)]/2
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優(yōu)質(zhì)解答
證明：(注意：你的題目打錯了)
由積分中值定理
∫(a→b)f(x)dx=(b-a)f(ξ) a<ξ又f(x)在[a,b]上二階可導(dǎo)且f'(x)>0則
f(a)
(b-a)f(a)<(b-a)f(ξ) a<ξ又 f''(x)>0
∴ f(x)在[a,b]上為嚴格上凹函數(shù)
∴ f(ξ)<[f(a)+f(b)]/2 a<ξ
(b-a)f(ξ)<(b-a)[f(a)+f(b)]/2 a<ξ由①②③得
(b-a)f(a)<∫(a→b)f(x)dx)<(b-a)[f(a)+f(b)]/2
由積分中值定理
∫(a→b)f(x)dx=(b-a)f(ξ) a<ξ又f(x)在[a,b]上二階可導(dǎo)且f'(x)>0則
f(a)
(b-a)f(a)<(b-a)f(ξ) a<ξ又 f''(x)>0
∴ f(x)在[a,b]上為嚴格上凹函數(shù)
∴ f(ξ)<[f(a)+f(b)]/2 a<ξ
(b-a)f(ξ)<(b-a)[f(a)+f(b)]/2 a<ξ由①②③得
(b-a)f(a)<∫(a→b)f(x)dx)<(b-a)[f(a)+f(b)]/2
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