1.設(shè)X=Y1^2+Y2^2+Y3^2+...+YN^2 其中Yn都是獨(dú)立的而且服從N(0,1)
那么X服從自由度為N的卡方分布
那么D(X)=D(Y1^2)+D(Y2^2)+...+D(YN^2) 因?yàn)閅n獨(dú)立
=2N 因?yàn)镈(Yn^2)=E(Yn^4)-E(Yn^2)=3-1=2
其中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的四階期望是3 要么通過公式得出E(Y^n)=(2n)!/(n!2^n) 其中Y是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量 n是奇數(shù) 如果n為偶數(shù)時(shí)E(Y^n)=0 要么直接算 算法是分步積分法
或者可以直接計(jì)算卡方分布的方差 很好計(jì)算 因?yàn)樽杂啥葹镹的卡方分布其實(shí)是系數(shù)為N/2,1/2的Gamma分布 而Gamma函數(shù)的性質(zhì)讓我們很容易計(jì)算出X的任何階期望 具體方法是:
X的n次方期望 就是密度函數(shù)乘x^n積分 這時(shí)你把x^n放進(jìn)密度函數(shù)你的積分函數(shù)里面就得到x的N/2-1+n次方也就是說系數(shù)從N/2變成了N/2+n 同樣你把分式下面的Gamma函數(shù)和1/2^(N/2)提到積分外部 然后添加需要的系數(shù)(使得該式變?yōu)橄禂?shù)為N/2+n和1/2的Gamma分布 對1積分為一)然后除以你添加的系數(shù) 最后積分外部的所有系數(shù)就是你的x^n的期望了
2.設(shè)X服從N(0,1)Z服從自由度為N的卡方分布 X和Z獨(dú)立 那么D(T)=E(T^2)-E(T)^2 其中E(T)=E(X/sqrt(Z/N))=E(X)*E(1/sqrt(Z/N))=0
所以D(T)=E(T^2)=E(X^2/(Z/N))=E(X^2)*E(N/Z)=N*E(X^2)*E(1/Z)
其中E(X^2)=1 E(1/Z)=1/(N-2) (通過密度函數(shù)計(jì)算 同第一題 卡方分布的1/2次方期望可以很容易求出)
所以D(T)=N/(N-2)
對了 自由度為k的卡方分布的密度函數(shù)是
你對比這個(gè)函數(shù)更好看懂我的回答