1.當(dāng)a從0度到180度變化時(shí),方程X^2+Y^2COSa=1表示的曲線的形0狀怎樣變化?
當(dāng)α從0到π/2時(shí),方程為x²+y²/(1/cosα)=1.是一系列,x軸為短軸,長(zhǎng)度為1,y軸為長(zhǎng)軸,長(zhǎng)度為1/√cosα的橢圓.長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度隨著α增加而增加.
當(dāng)α=π/2時(shí),方程變?yōu)閤²=1,為平行于y軸,分布在y軸兩側(cè)的兩條直線.
當(dāng)α從π/2到π時(shí),方程為x²-y²/(1/|cosα|)=1.是一系列,x軸為實(shí)軸,長(zhǎng)度為1,y軸為虛軸的雙曲線.雙曲線隨著α增加而越來(lái)越遠(yuǎn)離y軸.焦距=√(1+1/cos²α)=√(1+cos²α)/|cosα|,隨著α的增大而減小.
當(dāng)α=π時(shí),方程變?yōu)閤²-y²=1為標(biāo)準(zhǔn)雙曲線
2.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為0,經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)垂直于軸的直線和拋物線交于兩點(diǎn)B.C,經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)P垂直于軸的直線和軸交于點(diǎn)Q.求證：線段|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中項(xiàng).
設(shè)拋物線方程為y²=2px,因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)垂直于軸的直線和拋物線有兩個(gè)焦點(diǎn),那么直線BC垂直于x軸,B,C的x軸坐標(biāo)為p/2,對(duì)應(yīng)的y的坐標(biāo)為p,-p.所以|BC|=2p.
因?yàn)镻Q垂直于x軸,設(shè)OQ=a,PQ²=2pa,顯然有
|PQ|²=|BC|*|OQ|=2p*a=2pa成立.