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  • 如圖,在等邊△ABC中,D、E、F分別是BC,AC,AB上的點(diǎn),且DE⊥AC,EF⊥AB,F(xiàn)D⊥BC,則△DEF與△ABC的面積之比等于( ?。?A.1:3 B.2:3 C.3:2 D.3:3

    如圖,在等邊△ABC中,D、E、F分別是BC,AC,AB上的點(diǎn),且DE⊥AC,EF⊥AB,F(xiàn)D⊥BC,則△DEF與△ABC的面積之比等于( ?。?br/> A. 1:3
    B. 2:3
    C.
    3
    :2
    D.
    3
    :3
    數(shù)學(xué)人氣:365 ℃時(shí)間:2019-08-18 18:46:51
    優(yōu)質(zhì)解答
    ∵DE⊥AC,EF⊥AB,F(xiàn)D⊥BC,
    ∴∠C+∠EDC=90°,∠FDE+∠EDC=90°,
    ∴∠C=∠FDE,
    同理可得:∠B=∠DFE,∠A=DEF,
    ∴△DEF∽△CAB,
    ∴△DEF與△ABC的面積之比=(
    DE
    CA
    2,
    又∵△ABC為正三角形,
    ∴∠B=∠C=∠A=60°,△EFD是等邊三角形,
    ∴EF=DE=DF,
    又∵DE⊥AC,EF⊥AB,F(xiàn)D⊥BC,
    ∴△AEF≌△CDE≌△BFD,
    ∴BF=AE=CD,AF=BD=EC,
    在Rt△DEC中,
    DE=DC×sin∠C=
    3
    2
    DC,EC=cos∠C×DC=
    1
    2
    DC,
    又∵DC+BD=BC=AC=
    3
    2
    DC,
    DE
    CA
    =
    3
    DC
    3DC
    =
    3
    3
    ,
    ∴△DEF與△ABC的面積之比等于:(
    DE
    CA
    2=
    1
    3
    =1:3.
    故選:A.
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