你問(wèn)的問(wèn)題出自"鬼谷考徒"
孫臏,龐涓都是鬼谷子的徒弟；一天鬼出了這道題目：他從2到99中選出兩個(gè)不同的整數(shù),把積告訴孫,把和告訴龐.
龐說(shuō)：我雖然不能確定這兩個(gè)數(shù)是什么,但是我肯定你也不知道這兩個(gè)數(shù)是什么.
孫說(shuō)：我本來(lái)的確不知道,但是聽你這么一說(shuō),我現(xiàn)在能夠確定這兩個(gè)數(shù)字了.
龐說(shuō)：既然你這么說(shuō),我現(xiàn)在也知道這兩個(gè)數(shù)字是什么了.
問(wèn)這兩個(gè)數(shù)字是什么?為什么?
解題思路1：
假設(shè)數(shù)為 X,Y;和為X+Y=A,積為X*Y=B.
根據(jù)龐第一次所說(shuō)的：“我肯定你也不知道這兩個(gè)數(shù)是什么”.由此知道,X+Y不是兩個(gè)素?cái)?shù)之和.那么A的可能11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77,79,83,87,89,95,97.
我們?cè)儆?jì)算一下B的可能值：
和是11能得到的積:18,24,28,30
和是17能得到的積:30,42,52,60,66,70,72
和是23能得到的積:42,60...
和是27能得到的積:50,72...
和是29能得到的積:...
和是35能得到的積:66...
和是37能得到的積:70...
.
我們可以得出可能的B為.,當(dāng)然了,有些數(shù)（30=5*6=2*15）出現(xiàn)不止一次.
這時(shí)候,孫依據(jù)自己的數(shù)比較計(jì)算后,“我現(xiàn)在能夠確定這兩個(gè)數(shù)字了.”
我們依據(jù)這句話,和我們算出來(lái)的B的集合,我們又可以把計(jì)算出來(lái)的B的集合刪除一些重復(fù)數(shù).
和是11能得到的積:18,24,28
和是17能得到的積:52
和是23能得到的積:42,76...
和是27能得到的積:50,92...
和是29能得到的積:54,78...
和是35能得到的積:96,124...
和是37能得到的積:,...
.
因?yàn)辇嬚f(shuō)：“既然你這么說(shuō),我現(xiàn)在也知道這兩個(gè)數(shù)字是什么了.”那么由和得出的積也必須是唯一的,由上面知道只有一行是剩下一個(gè)數(shù)的,那就是和17積52.那么X和Y分別是4和13.
解題思路2：
說(shuō)話依次編號(hào)為S1,P1,S2.
設(shè)這兩個(gè)數(shù)為x,y,和為s,積為p.
由S1,P不知道這兩個(gè)數(shù),所以s不可能是兩個(gè)質(zhì)數(shù)相加得來(lái)的,而且s＜＝41,因?yàn)槿绻鹲＞41,那么P拿到41×（s－41）必定可以猜出s了（關(guān)于這一點(diǎn),參考老馬的證明,這一點(diǎn)很巧妙,可以省不少事情）.所以和s為{11,17,23,27,29,35,37,41}之一,設(shè)這個(gè)集合為A.
1).假設(shè)和是11.11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6,如果P拿到18,18＝3×6＝2×9,只有2＋9落在集合A中,所以P可以說(shuō)出P1,但是這時(shí)候S能不能說(shuō)出S2呢?我們來(lái)看,如果P拿到24,24＝6×4＝3×8＝2×12,P同樣可以說(shuō)P1,因?yàn)橹辽儆袃煞N情況P都可以說(shuō)出P1,所以A就無(wú)法斷言S2,所以和不是11.
2).假設(shè)和是17.17＝2＋15＝3＋14＝4＋13＝5＋12＝6＋11＝7＋10＝8＋9,很明顯,由于P拿到4×13可以斷言P1,而其他情況,P都無(wú)法斷言P1,所以和是17.
3).假設(shè)和是23.23＝2＋21＝3＋20＝4＋19＝5＋18＝6＋17＝7＋16＝8＋15＝9＋14＝10＋13＝11＋12,咱們先考慮含有2的n次冪或者含有大質(zhì)數(shù)的那些組,如果P拿到4×19或7×16都可以斷言P1,所以和不是23.
4).假設(shè)和是27.如果P拿到8×19或4×23都可以斷言P1,所以和不是27.
5).假設(shè)和是29.如果P拿到13×16或7×22都可以斷言P1,所以和不是29.
6).假設(shè)和是35.如果P拿到16×19或4×31都可以斷言P1,所以和不是35.
7).假設(shè)和是37.如果P拿到8×29或11×26都可以斷言P1,所以和不是37.
8).假設(shè)和是41.如果B拿到4×37或8×33,都可以斷言P1,所以和不是41.
綜上所述：這兩個(gè)數(shù)是4和13.
解題思路3：
孫龐猜數(shù)的手算推理解法
1)按照龐的第一句話的后半部分,我們肯定龐知道的和S肯定不會(huì)大于54.
因?yàn)槿绻?4