很簡(jiǎn)單,我假設(shè)你已經(jīng)懂得一元三次多項(xiàng)式的根的公式表達(dá)式.
1)f(x)=x立方+alnx 當(dāng)a=-2時(shí)
f(x)=x立方-2lnx 則f'(x)=3x平方-2/x=(3x立方-2)/x
對(duì)于一元三次多項(xiàng)式 3x立方-2=0 根據(jù)一元三次多項(xiàng)式的根的表達(dá)式
得到3x立方-2=3[x-三次根號(hào)下(2/3)][x平方+三次根號(hào)下(2/3)+三次根號(hào)下(4/9)]
容易知道該方程后面的一項(xiàng)顯然是大于0的
所以只需要計(jì)算 x[x-三次根號(hào)下(2/3)] 且x≠0
則有極值點(diǎn) x=三次根號(hào)下(2/3) 容易判斷這是極小點(diǎn) 極小值為f[三次根號(hào)下(2/3)]=2/3-2/3ln(2/3)
單調(diào)區(qū)間在(-∞,0)上遞增,(0,三次根號(hào)下(2/3)]上遞減,[三次根號(hào)下(2/3),+∞)遞減
2)g(x)=f(x)+2/x=x立方+alnx+2/x 在[1,+∞)上單調(diào) 則 g'(x)=3x平方+a/x-2/x平方=[3x四次方+ax-2]/x平方 其符號(hào)不變
設(shè)u(x)=3x四次方+ax-2顯然要求其符號(hào)也是不變的 u'(x)=12x立方+a 在[1,+∞)
如果 三次根號(hào)下(a/12)12+a>0 故此時(shí) u'(x)>0 3+a-2>0得到a>-1
此時(shí) -1(12/15)*四次根號(hào)下(120)
容易求得 a>等于12立方
綜上所述 a>-1