∫e^(-t^2)dt=√π,(-∞,+∞)
證明：
設I=∫e^(-x^2)dx,(-R,R)
則I=∫e^(-y^2)dy,(-R,R)
I^2=∫e^(-x^2)dx∫e^(-y^2)dy,x∈(-R,R),y∈(-R,R)
即I^2=∫∫e^[-(x^2+y^2)]dxdy,x∈(-R,R),y∈(-R,R)
轉(zhuǎn)換坐標系,將直角坐標系轉(zhuǎn)換成極坐標系
ρ^2=x^2+y^2
θ=arctany/x
則∫∫e^(-ρ'^2)ρ'dρ'dθ＜I^2＜∫∫e^(-ρ^2)ρdρdθ
ρ'∈[0,R),θ∈[0,2π];ρ∈[0,√2R),θ∈[0,2π]
而∫∫e^(-ρ^2)ρ'dρ'dθ,ρ'∈[0,R),θ∈[0,2π]
=π∫e^(-ρ'^2)dρ'^2,ρ'∈[0,R)
=π[1-e^(-R^2)]
∫∫e^(-ρ^2)ρdρdθ,ρ∈[0,√2R),θ∈[0,2π]
=π∫e^(-ρ^2)dρ^2,ρ∈[0,√2R)
=π[1-e^(-2R^2)]
所以π[1-e^(-R^2)]＜I^2＜π[1-e^(-2R^2)]
又因為limπ[1-e^(-R^2)]=limπ[1-e^(-R^2)]=π,I=∫e^(-t^2)dt,(-∞,+∞).R→+∞.
所以∫e^(-t^2)dt=√π,(-∞,+∞)