已知橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)和曲線經(jīng)過(guò)的一個(gè)點(diǎn)P,怎么求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程?
答:使用待定系數(shù)法.
即由已知橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo),
設(shè)滿足條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.
再由條件:曲線經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)P,
則該點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)滿足所設(shè)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,
把該點(diǎn)P的坐標(biāo)代入所設(shè)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,
則可得到一個(gè)關(guān)于要待定的系數(shù)a,b的一個(gè)等式,記為方程(1);
再由已知的橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo),
得到另一個(gè)關(guān)于要待定的系數(shù)a,b的等式,記為方程(2);
聯(lián)立方程(1)和方程(2),
解方程組求得待定的系數(shù)a,b的平方的值(即可),
把求出的a,b的平方的值,代入所設(shè)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,
即為所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
如:
已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(-√3,0)F2(√3,0)并經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(√5,-√6)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程
由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(-√3,0)F2(√3,0)
知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,
故應(yīng)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
x²/a²+y²/b²=1
由條件:橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(√5,-√6),得
5/a²+6/b²=1 (1)
再由已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(-√3,0)F2(√3,0),
和a,b,c滿足的關(guān)系式:
c²=a²-b²
得a²-b²=(√3)²=3 (2)
聯(lián)立方程(1)和方程(2),
解方程組求得待定的系數(shù)a,b的平方的值為:
b² =4+根號(hào)34=4+√34,b² =4-根號(hào)34=4-√34