(1)如圖,由于正六邊形內(nèi)角和為(6-2)×180°=720°,則其一角的角平分線所分的兩個角同為60°；

           設(shè)所需矩形的長寬分別為A、B,剪出的正六邊形徑長為L,那么

                          A=2L,B=2L·sin60°=√3L；

           因此,所求長寬比為A：B=(2L)：(√3L)=2√3：3.

       (2)依題意并結(jié)合圖形知,A=2a,B=√3a,L=a,并設(shè)所求高為h,正六棱柱底面邊長為k,那么

                         k=2·(L-h/sin60°)·cos60°=a-2√3h/3

           則無蓋正六棱柱側(cè)面積為S=6·k·h=6·(a-2√3h/3)·h

                                                              =﹣4√3(h-√3a/4)²+3√3a²/4

           故①當(dāng)h=√3a/4時,S取得最大值為3√3a²/4,且k=√3a/2；

               ②此時矩形紙片利用率：ω=(3√3a²/4+3√3k²/2)/(2a·√3a)×100%

                                                        =(3√3a²/4+9√3a²/8)/(2√3a²)×100%

                                                        =(3/4+9/8)/2×100%

                                                        =15/16×100%

                                                        =93.75%.

                 （注：正六邊形面公式S=3√3L²/2,L為正六邊形邊長）

           因此,所求正六棱柱的高為√3a/4,且此時矩形紙片利用率為93.75%.

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