這個不是二重積分,是第二類曲面積分,用高斯公式
補平面,z=1,x^2+y^2≤1,取上側
這樣兩曲面合并為一個封閉曲面
∫∫ 2xdydz+ydzdx+zdxdy
=∫∫∫ (2+1+1)dxdydz
=4∫∫∫1dxdydz
下面用柱坐標
=4∫∫∫rdzdrdθ
=4∫[0→2π]dθ∫[0→1]rdr∫[r²→1]dz
=8π∫[0→1]r(1-r²)dr
=8π[(1/2)r^2-(1/4)r^4] |[0→1]
=2π
下面計算所補平面上的積分
∫∫ 2xdydz+ydzdx+zdxdy
=∫∫ 1 dxdy 積分區(qū)域是：x^2+y^2≤1
=π
因此本題結果是：原式=2π-π=π