函數(shù)某點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件不是左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等,這個沒錯,但是這個是說函數(shù)要連續(xù),但是并不意味著導(dǎo)函數(shù)也要連續(xù).
函數(shù)可導(dǎo)只能推出連續(xù),不可能推出導(dǎo)函數(shù)也連續(xù).
關(guān)于間斷點(diǎn)
首先我們討論一下原函數(shù)的存在性：
1.當(dāng)f(x)連續(xù)時,一定存在原函數(shù)F(X)
2.當(dāng)f(x)存在第一類間斷點(diǎn)時,一定不存在原函數(shù).
言外之意就是,f(x)存在第二類間斷點(diǎn)時,可以存在原函數(shù).
然后我們來討論你的問題,首先導(dǎo)函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù),前面已經(jīng)講了.那么我們來討論,導(dǎo)函數(shù)的間斷點(diǎn)是否必須為第二類.
既然是“導(dǎo)函數(shù)”,說明是某函數(shù)求導(dǎo)得到的函數(shù).也就是說,該“導(dǎo)函數(shù)”一定是有原函數(shù)的.
既然有原函數(shù),根據(jù)前面的原函數(shù)存在性定理,那么必須不能有第一類間斷點(diǎn),可以是連續(xù)的,
-------------------------------------------------------------------------------------------------
下面給出詳細(xì)的證明.
首先我們要搞清楚,導(dǎo)數(shù)的左（右）極限=左（右）導(dǎo)數(shù)的條件是什么.
設(shè)f(x) 在x=c點(diǎn)鄰域內(nèi)連續(xù),可導(dǎo).且導(dǎo)函數(shù)在c點(diǎn)左右兩側(cè)極限存在（假設(shè)極限為A）.
f`(c-0)=lim(f(x)-f(c))/(x-c),由羅比達(dá)法則,f`(c-0)=limf`(x)=A
x-c-
也就是此時左導(dǎo)數(shù)=導(dǎo)數(shù)的左極限=A
同理此時右導(dǎo)數(shù)=導(dǎo)數(shù)的右極限=A
下面我們證明,導(dǎo)數(shù)的間斷點(diǎn)只能是第二類間斷點(diǎn).
反證法：假設(shè)x=c是導(dǎo)函數(shù)f`(x)的間斷點(diǎn),且是第一類間斷點(diǎn)（即limf`(x)=A和limf`(x)=A都存在）
因?yàn)閘imf`(x)=A和limf`(x)=A都存在,則f`(c-0)=f`(c+0),也就是說,x=c是導(dǎo)函數(shù)f`(x)的連續(xù)點(diǎn).
矛盾.
所以只能是第二類間斷點(diǎn).