令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0
0
0<∫f(x)sinxdx <[∏^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1）
又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶數(shù)階導數(shù))
由于n!f(x)是x的整系數(shù)多項式,且各項的次數(shù)都不小于n,故f(x)及其各階導數(shù)在x=0點處的值也都是整數(shù),因此,F(x)和F(∏)也都是整數(shù).
又因為
d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx
=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx
=F"(x)sinx+F(x)sinx
=f(x)sinx
所以有：
∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx],（此處上限為∏,下限為0）
=F(∏)+F(0)
上式表示∫f(x)sinxdx在[0,∏]區(qū)間上的積分為整數(shù),這與（1）式矛盾.所以∏不是有理數(shù),又它是實數(shù),故∏是無理數(shù).
終于解答完了,我這么累幫你解答,樓主是不是有獎勵阿:)