（1）∵拋物線y=x2-2x+m-1與x軸只有一個交點(diǎn),
∴△=（-2）2-4×1×（m-1）=0,
解得,m=2；
（2）由（1）知拋物線的解析式為y=x2-2x+1,易得頂點(diǎn)B（1,0）,
當(dāng)x=0時,y=1,得A（0,1）．
由1=x2-2x+1,解得,x=0（舍）或x=2,所以C點(diǎn)坐標(biāo)為：（2,1）．
過C作x軸的垂線,垂足為D,則CD=1,BD=xD-xB=1．
∴在Rt△CDB中,∠CBD=45°,BC= 2 ．
同理,在Rt△AOB中,AO=OB=1,于是∠ABO=45°,AB= 2 ．
∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°,AB=BC,
因此△ABC是等腰直角三角形；
（3）由題知,拋物線C′的解析式為y=x2-2x-3,
當(dāng)x=0時,y=-3；
當(dāng)y=0時,x=-1或x=3,
∴E（-1,0）,F（0,-3）,即OE=1,OF=3．
第一種情況：若以E點(diǎn)為直角頂點(diǎn),設(shè)此時滿足條件的點(diǎn)為P1（x1,y1）,作P1M⊥x軸于M．
∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°,
∴∠P1EM=∠EFO,得Rt△EFO∽Rt△P1EM,
則P1M EM =OE OF =1 3 ,即EM=3P1M．
∵EM=x1+1,P1M=y1,
∴x1+1=3y1①
由于P1（x1,y1）在拋物線C′上,
則有3（x12-2x1-3）=x1+1,
整理得,3x12-7x1-10=0,解得,
x1=-1（舍）或x1=10 3 ．
把x1=10 3 代入①中可解得,
y1=13 9 ．
∴P1（10 3 ,13 9 ）．
第二種情況：若以F點(diǎn)為直角頂點(diǎn),設(shè)此時滿足條件的點(diǎn)為P2（x2,y2）,作P2N⊥與y軸于N．
同第一種情況,易知Rt△EFO∽Rt△FP2N,
得FN P2N =OE OF =1 3 ,即P2N=3FN．
∵P2N=x2,FN=3+y2,
∴x2=3（3+y2）②
由于P2（x2,y2）在拋物線C′上,
則有x2=3（3+x22-2x2-3）,
整理得3x22-7x2=0,解得x2=0（舍）或x2=7 3 ．
把x2=7 3 代入②中可解得,
y2=-20 9 ．
∴P2（7 3 ,-20 9 ）．
綜上所述,滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（10 \3 ,13| 9 ）或（7| 3 ,-20| 9 ）．