設(shè)在上半平面D={（x,y)|y＞0}內(nèi),函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且對任意的 t＞0都有f(tx,ty)=t^(-2) f(x,y).證明：對D內(nèi)的任意分段光滑的有向簡單閉曲線L,都有∮yf(x,y)dx - xf(x,y)dy=0

設(shè)在上半平面D={（x,y)|y＞0}內(nèi),函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且對任意的 t＞0都有f(tx,ty)=t^(-2) f(x,y).證明：對D內(nèi)的任意分段光滑的有向簡單閉曲線L,都有∮yf(x,y)dx - xf(x,y)dy=0.(積分區(qū)域為L)

數(shù)學(xué)人氣：146 ℃時間：2020-02-06 04:39:52

優(yōu)質(zhì)解答

由于封閉,函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),滿足格林公式
∮yf(x,y)dx - xf(x,y)dy=
=二重積分[-2f(x,y)-fx(x,y)-fy(x,y)],積分區(qū)域為D .（1）
而前者路積分為0的充要條件就是積分與路徑無關(guān)
也就是yf(x,y)dx - xf(x,y)dy是某函數(shù)的全微分
那么滿不滿足yf(x,y)dx - xf(x,y)dy是某函數(shù)的全微分?
那么就要看條件了,條件有對任意的 t＞0都有f(tx,ty)=t^(-2) f(x,y).
對t取特殊值也成立,分別取t為x,y
有f（x,y）=x^2f(x^2,xy)=y^2f(xy,y^2)
yf(x,y)dx - xf(x,y)dy=

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設(shè)在上半平面D={（x,y)|y＞0}內(nèi),函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且對任意的 t＞0都有f(tx,ty)=t^(-2) f(x,y).證明：對D內(nèi)的任意分段光滑的有向簡單閉曲線L,都有∮yf(x,y)dx - xf(x,y)dy=0

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