證:注:符號(hào)=∫(a,b)表示在[a,b]上的定積分
先考察左邊:
左邊令t=cosx,因?yàn)閤∈[0,π/2],所以t∈[0,1],x=arccost,dx=-dt/√(1-t^2)
所以左邊=-∫(1,0)[f(t)/√(1-t^2)]dt==∫(0,1)[f(t)/√(1-t^2)]dt
再考察右邊:
令u=sinx,因?yàn)閤∈[0,π/2],所以u(píng)∈[0,1],x=arcsinu,dx=du/√(1-u^2)
所以右邊=∫(0,1)[f(u)/√(1-u^2)]du
因?yàn)槎ǚe分與積分變量選取的字母無關(guān)
所以左邊=右邊
得證