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  • 設(shè)N是正整數(shù),求證8的2N+1次方與7的N+2次方之和為57的倍數(shù)

    設(shè)N是正整數(shù),求證8的2N+1次方與7的N+2次方之和為57的倍數(shù)
    其他人氣:938 ℃時(shí)間:2020-02-06 01:16:00
    優(yōu)質(zhì)解答
    8^(2N+1)+7^(N+2)=8*8^(2N)-49*7^N=8*(64)^N+49*7^N
    =8*(57+7)^N+49*7^N
    根據(jù)楊輝三角公式(A+B)^N 展開項(xiàng)目的系數(shù)只有一項(xiàng)目不包括57,其為
    7^N
    所以8*(57+7)^N除以57的余數(shù)也就等于8*7^N除以 57的余數(shù)
    所以8^(2N+1)-7^(N+2)除以57的余數(shù)也就等于8*7^N+49*7^N=57*7^N 除以57的余數(shù)
    57*7^N 除以57,可以整除
    所以8的2N+1次方與7的N+2次方之和為57的倍數(shù)
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