為了證明這個命題,只需要證明A^k與B^m次方可以交換就可以了.
因為A與B的任意多項式f(A)與f(B)相乘展開的每一項都是A^k*B^m的形式.
由于A與B可交換,AB=BA,從而A^2*B=AAB=ABA=BAA=B*A^2,這就證明了A^2與B可以交換.類似的,用數(shù)學歸納法,就可以證明A^k與B可以交換.那么,A^k*B^m就可以通過以上結論將每一個B交換到A^k之前,這就證明了A^k與B^m次方可以交換.
從而,f(A)與f(B)相乘展開的每一項都是可以交換的,這就證明了命題.