已知a、b是整數(shù),且滿足a-b是質(zhì)數(shù),ab是完全平方數(shù),若a≥2011,求a的最小值
如題,我在網(wǎng)上找到了答案,不過看不懂,我把答案發(fā)上來：
a-b=p(質(zhì)數(shù)),由輾轉(zhuǎn)相除法的原理可得出結(jié)論：要么p是a,b的公約數(shù),要么a,b互質(zhì).
如果p是a,b的公約數(shù)：令b=np,則a=b+p=(n+1)p,ab=n(n+1)p^2,n(n+1)不可能是完全平方數(shù)
如果a,b互質(zhì):由ab是完全平方數(shù),可知,a和b都是完全平方數(shù),令a是m的平方,b是n的平方,則a-b=m^2-n^2=(m+n)(m-n),a-b是質(zhì)數(shù),所以m-n=1,m+n=p,sqrt(2011)>44,而45+44=89是一個素數(shù),所以,a最小是45^2=2025,b只能是44^2=1936
假設(shè)A = (M+1)P、B = MP,A-B = P是素數(shù)的情況時,因M+1、M互質(zhì).
A*B = PM(M+1) 不可能為完全平方數(shù).
因此由題意,A、B應(yīng)分別是完全平方數(shù)、A-B為一素數(shù).
A = M²
B = N²
M、N互質(zhì)
A - B = (M+N)(M-N)=質(zhì)數(shù)=M+N
則M-N = 1
這兩個答案最終求出結(jié)果是正確的,但是我對其中2個有疑問,為什么輾轉(zhuǎn)相除法能得到A,B各是完全平方數(shù)呢 ,答案2的第一條,A-B = P是素數(shù)的情況時,因M+1、M互質(zhì)是為何成立 還有一點(diǎn),a-b=m^2-n^2=(m+n)(m-n),a-b是質(zhì)數(shù),所以m-n=1 這個我也不懂,a-b是質(zhì)數(shù),為什么m=n就是1呢,感激不盡