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  • 柯西函數(shù)方程 f(xy)=f(x)* f(y)

    柯西函數(shù)方程 f(xy)=f(x)* f(y)
    數(shù)學人氣:220 ℃時間:2020-04-05 19:41:14
    優(yōu)質(zhì)解答
    指函數(shù)方程f(x+y)=f(x)+f(y) x,y屬于R
    f(x)為單調(diào)函數(shù),(或連續(xù)函數(shù))
    下面我舉個例子說明.
    證明若f(x)≥0,且f²(x+y)=f²(x-y)=2[f²(x)+f²(y)],則f(x)=a|x| (a>0)
    首先,f(x)=0滿足條件,而且第一個=應為+
    因為f(y)=f(-y),f(0)=0,所以可以只考慮x>0情況
    設f(1)=a>0 (如果f(1)=0,則f(x)=0),f(2)=f(1+1)=2a,
    以次類推,f(2^n)=(2^n)a.
    用樣可以證明f(1/2^n)=(1/2^n)a
    (f²(1/2+1/2)+f²(1/2-1/2)=2[f²(1/2)+f²(1/2)])
    這里,可以把1替換成任意數(shù)p,所以f((2^n)p)=(2^n)f(np)
    可以用數(shù)學歸納法證明對于任何奇數(shù)p,f(p)=ap
    f(1)=a為初始條件,
    f²(2n+1)+f²(2n-3)=2[f²(2n-1)+f²(2)]歸納
    對于整數(shù)n,m,n>m
    f²(2^n+2^m)+f²(2^n-2^m)=2[f²(2^n)+f²(2^m)]
    f(2^n-2^m)=f(2^m(2^(n-m)-1))=(2^n-2^m)a因為2^(n-m)-1是奇數(shù)
    可以算出f(2^n+2^m)=(2^n+2^m)a
    由于任何實數(shù)有二進制表示,且f對于2^n的運算為線性
    所以對于任何大于0的實數(shù),f(x)=ax
    補充,需要對于函數(shù)進行連續(xù)性驗證.
    先證明在0點右連續(xù),再證明在任意點連續(xù)
    可以假設在0點不收斂于0,得出矛盾
    這就是函數(shù)方程.此外還可以參考一下書本如:《函數(shù)與函數(shù)方程》
    希望這個答案你能滿意.
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