（由于此處不方便打公式）只能用語言描述了.（可以參看曾謹(jǐn)言版量子力學(xué)導(dǎo)論第二版第263頁）
左矢和右矢數(shù)學(xué)意義在泛函分析中有詳細(xì)描述,就是希爾伯特空間中的一組基矢,左矢和右矢相乘后積分的意義就是兩個矢量點(diǎn)乘,而積分上下限通常中無窮大,那是因?yàn)楹屯ǔＯ蛄浚ㄒ粋€固定的方向,表一個直線）不同,這里的向量常是曲線（你可以看看勒讓德級數(shù),合流超幾何級數(shù)）就知道了,方向通常隨x變化而變化,所以積分上下限當(dāng)然是無窮大了.
如果將一個算符放在中間,（你知道的,算符乘上本征函數(shù),也就是上面所說的右矢,等于其本征值也就是一個數(shù)乘右矢）,而有的時候可能不是一個數(shù)而是兩個或三個數(shù)（說明右矢并不是算符的本征函數(shù),也就是該算符有多個可能的值對應(yīng)著多個概率）所以這就相當(dāng)于左右矢之間乘了多個數(shù)這就是求平均值了.而在量子力學(xué)中正是平均值才有用（因?yàn)槿祟愒谟蔑@微鏡觀察粒子時看到的只能是某一個量的平均分布情況哦)!
左矢和右矢的物理意義,很簡單的一句話,但你能不能明日就看你自己了：兩種狀態(tài)（左矢右矢）的相互作用.（一般你只要知道其數(shù)學(xué)意義就行了）
左矢右上角常用*表示,不過我還是喜歡dirac表示法
關(guān)于你上面提到的問題可以參看看曾謹(jǐn)言版量子力學(xué)導(dǎo)論第二版第92頁,已經(jīng)表述的很詳細(xì)了
復(fù)共軛算符用*表示,用+表示的叫轉(zhuǎn)置復(fù)共軛（或叫厄米共軛）,如果A+=A也就是轉(zhuǎn)置復(fù)共軛等于算符自身的就叫做厄米算符.