一般地,如果x與y關(guān)于某種對應(yīng)關(guān)系f（x）相對應(yīng),y=f（x）,則y=f（x）的反函數(shù)為y= f ‘（x）.
反函數(shù)定義
一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域是C,根據(jù)這個函數(shù)中x,y 的關(guān)系,用y把x表示出,得到x= f(y).若對于y在C中的任何一個值,通過x= f(y),x在A中都有唯一的值和它對應(yīng),那么,x= f(y)就表示y是自變量,x是因變量y的函數(shù),這樣的函數(shù)x= f(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù),記作y=f^-1(x).反函數(shù)y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域.
編輯本段反函數(shù)性質(zhì)
（1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱； （2）函數(shù)存在反函數(shù)的必要條件是,函數(shù)的定義域與值域是一一映射； （3）一個函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致； （4）大部分偶函數(shù)不存在反函數(shù)（唯一有反函數(shù)的偶函數(shù)是f(x)=a,x∈{0}）.奇函數(shù)不一定存在反函數(shù).被與y軸垂直的直線截時能過2個及以上點即沒有反函數(shù).若一個奇函數(shù)存在反函數(shù),則它的反函數(shù)也是奇函數(shù).(5)一切隱函數(shù)具有反函數(shù)； (6)一段連續(xù)的函數(shù)的單調(diào)性在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)具有一致性； （7）嚴(yán)格增（減）的函數(shù)一定有嚴(yán)格增（減）的反函數(shù)【反函數(shù)存在定理】.（8）反函數(shù)是相互的 （9）定義域、值域相反對應(yīng)法則互逆（三反） (10)原函數(shù)一旦確定,反函數(shù)即確定（三定） 例：y=2x-1的反函數(shù)是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函數(shù)是y=log2 x 例題：求函數(shù)3x-2的反函數(shù) y=3x-2的定義域為R,值域為R.由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 將x,y互換,則所求y=3x-2的反函數(shù)是 y=1/3(x+2)（x屬于R） （11）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系：如果X=F(X）在區(qū)間I上單調(diào),可導(dǎo),且F‘（Y）不等于0,那么他的反函數(shù)Y=F’（X）在區(qū)間S={X|X=F(Y),Y屬于I }內(nèi)也可導(dǎo),且[F‘（X)]'=1\F’（Y）.
編輯本段反函數(shù)說明
⑴在函數(shù)x=f’(y)中,y是自變量,x是函數(shù),但習(xí)慣上,我們一般用x表示自變量,用y 表示函數(shù),為此我們常常對調(diào)函數(shù)x=f‘(y)中的字母x,y,把它改寫成y=f’(x),今后凡無特別說明,函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)都采用這種經(jīng)過改寫的形式.⑵反函數(shù)也是函數(shù),因為它符合函數(shù)的定義.從反函數(shù)的定義可知,對于任意一個函數(shù)y=f(x)來說,不一定有反函數(shù),若函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)y=f‘(x),那么函數(shù)y=f’(x)的反函數(shù)就是y=f(x),這就是說,函數(shù)y=f(x)與y=f‘(x)互為反函數(shù).⑶從映射的定義可知,函數(shù)y=f(x)是定義域A到值域C的映射,而它的反函數(shù)y=f‘(x)是集合C到集合A的映射,因此,函數(shù)y=f(x)的定義域正好是它的反函數(shù)y=f’(x)的值域；函數(shù)y=f(x)的值域正好是它的反函數(shù)y=f’(x)的定義域（如下表）：函數(shù)：y=f(x) 反函數(shù)：y=f’(x) 定義域：A C 值域：C A ⑷上述定義用“逆”映射概念可敘述為：若確定函數(shù)y=f(x)的映射f是函數(shù)的定義域到值域“上”的“一一映射”,那么由f的“逆”映射f^-1所確定的函數(shù)x=f’(x)就叫做函數(shù)y=f(x)的反函數(shù).反函數(shù)x=f‘(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域.開始的兩個例子：s=vt記為f(t)=vt,則它的反函數(shù)就可以寫為f’(t)=t/v,同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6,則它的反函數(shù)為：f‘(x)=x/2-3.有時是反函數(shù)需要進(jìn)行分類討論,如：f(x)=X+1/X,需將X進(jìn)行分類討論：在X大于0時的情況,X小于0的情況,多是要注意的.一般分?jǐn)?shù)函數(shù)的反函數(shù)的表示為y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a
編輯本段反函數(shù)應(yīng)用
直接求原函數(shù)的值域困難時,可以通過求其反函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域,求反函數(shù)的步驟是這樣的：1、先求出反函數(shù)的定義域,因為原函數(shù)的值域就是反函數(shù)的定義域； （我們知道函數(shù)的三要素是定義域、值域、對應(yīng)法則,所以先求反函數(shù)的定義域是求反函數(shù)的第一步） 2、反解x,也就是用y來表示x； 3、改寫,交換位置,也就是把x改成y,把y改成x； 4、寫出原函數(shù)及其值域.實例：y=2x+1（值域：任意實數(shù)） x=(y-1)/2 y=(x-1)/2（x取任意實數(shù)） 特別地,形如kx+ky=b的直線方程和任意一個反比例函數(shù),它的反函數(shù)都是它本身.反函數(shù)求解三步驟：1、換：X、Y換位 解出Y 3、標(biāo)：標(biāo)出定義域