因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算．在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí),整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng),或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零．在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí),需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng),即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng),或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng),前者稱為拆項(xiàng),后者稱為添項(xiàng)．拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解．
例4 分解因式：x3-9x+8．
分析：本題解法很多,這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法,注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧．
解法1 將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 將三次項(xiàng)x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加兩項(xiàng)-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
說(shuō)明 由此題可以看出,用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí),要拆哪些項(xiàng),添什么項(xiàng)并無(wú)一定之規(guī),主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察,靈活變換,因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種．
例5 分解因式：
(1)x9+x6+x3-3；
(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；
(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；
(4)a3b-ab3+a2+b2+1．
解 (1)將-3拆成-1-1-1．
原式=x9+x6+x3-1-1-1
=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．
(2)將4mn拆成2mn+2mn．
原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn
=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn
=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)
=(mn+1)2-(m-n)2
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．
(3)將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．
原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4
=〔(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2
=〔(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2
=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．
(4)添加兩項(xiàng)+ab-ab．
原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab
=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)
=a(a-b)〔b(a+b)+1]+(ab+b2+1)
=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．
說(shuō)明 (4)是一道較難的題目,由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無(wú)公因式,而是先將前兩組分解,再與第三組結(jié)合,找到公因式．這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在,同學(xué)們需多做練習(xí),積累經(jīng)驗(yàn)