矩形
定義
有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形
對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形
矩形的對(duì)角線相等,四個(gè)角都是直角
性質(zhì)
1．矩形的兩個(gè)角都是直角
2．矩形的對(duì)角線相等
3．矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其兩對(duì)角線端點(diǎn)的距離的平方和相等
4．矩形既是軸對(duì)稱圖形,也是中心對(duì)稱圖形（對(duì)稱軸是任何一組對(duì)邊中點(diǎn)的連線）,它有兩條對(duì)稱軸.
5．矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)
判定(數(shù)學(xué)表達(dá)式)
一（通過平行四邊形）
①在平行四邊形ABCD中：∠BAD=90du BD=AC ∴平行四邊形ABCD為矩形. ∴平行四邊形ABCD為矩形.
二（通過四邊形）
②在四邊形ABCD中： ∠ABC=∠BCD=∠CDA=90º ∴四邊形ABCD為矩形.
說明：
（l）所給四邊形添加的條件不滿足三個(gè)的肯定不是矩形；
（2）所給四邊形添加的條件是三個(gè)獨(dú)立條件,但若與定理不同,則需要利用定義和判定定理證明或舉反例,才能下結(jié)論．
面積
S=ah(注:a為邊長(zhǎng),h為該邊上的高) S=ab(注:a為長(zhǎng),b為寬)
菱形
定義
在一個(gè)平面內(nèi),一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
性質(zhì)
1、對(duì)角線互相垂直且平分,并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；
2、四條邊都相等；
3、對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ)；
4、每條對(duì)角線平分一組對(duì)角,
5、菱形既是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸是兩條對(duì)角線所在直線,也是中心對(duì)稱圖形, 6、在60°的菱形中,短對(duì)角線等于邊長(zhǎng),長(zhǎng)對(duì)角線是短對(duì)角線的√3倍. 7、菱形具備平行四邊形的一切性質(zhì).
判定
1、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
2、四邊相等的四邊形是菱形
3、關(guān)于兩條對(duì)角線都成軸對(duì)稱的四邊形是菱形
4、對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形.
依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形.不管原四邊形的形狀怎樣改變,中點(diǎn)四邊形的形狀始終是平行四邊形.菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形（對(duì)角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形定為矩形 ,對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形定為菱形.）
菱形是在平行四邊形的前提下定義的,首先它是平行四邊形,但它是特殊的平行四邊形,特殊之處就是“有一組鄰邊相等”,因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法.
面積
1.對(duì)角線乘積的一半（只要是對(duì)角線互相垂直的四邊形都可用）；
2.底乘高=菱形面積.
正方形
定義
在同一平面內(nèi),四條邊都相等且一個(gè)角是直角的四邊形是正方形.
you一組鄰邊相等的矩形是正方形.
有一組鄰邊相等且垂直的平行四邊形是正方形.
有一個(gè)角為直角的菱形是正方形.
四邊形對(duì)角線相等且互相垂直平分
性質(zhì)
1、邊：兩組對(duì)邊分別平行；四條邊都相等；相鄰邊互相垂直
2、內(nèi)角：四個(gè)角都是90°；
3、對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直；對(duì)角線相等且互相平分；每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；
4、對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形,又是軸對(duì)稱圖形（有四條對(duì)稱軸）.
5、形狀：正方形也屬于長(zhǎng)方形的一種.
判定
1：對(duì)角線相等的菱形是正方形.
2：對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形
3：對(duì)角線互相垂直,平分且相等的四邊形是正方形.
4：一組鄰邊相等,有三個(gè)角是直角的四邊形是正方形.
5：一組鄰邊相等的矩形是正方形.
6：一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.
7：四邊均相等,對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.
8：有一個(gè)角為直角的菱形是正方形.
9：既是菱形又是矩形的四邊形是正方形.
面積
S=a×a 或：S=對(duì)角線×對(duì)角線÷2
平行四邊形
定義
在同一平面內(nèi)有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形
性質(zhì)
（1）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形,那么這個(gè)平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等. （簡(jiǎn)述為“平行四邊形的對(duì)邊平行且相等”）
（2）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形,那么這個(gè)平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行. （簡(jiǎn)述為“平行四邊形的對(duì)邊平行”）
（3）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形,那么這個(gè)平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等. （簡(jiǎn)述為“平行四邊形的對(duì)邊相等”）
（4）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形,那么這個(gè)平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等. （簡(jiǎn)述為“平行四邊形的對(duì)角相等”）
（5）如果一個(gè)四邊形是平行四邊形,那么這個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分. （簡(jiǎn)述為“平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分”）
（6）平行四邊形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形,旋轉(zhuǎn)中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).
（7）一般的平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形,菱形是軸對(duì)稱圖形.
（8）連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)所得圖形是平行四邊形.
（9）平行四邊形的對(duì)角相等,兩鄰角互補(bǔ).
（10）過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線,將平行四邊形分成全等的兩部分圖形.
（11）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形,對(duì)稱中心是兩對(duì)角線的交點(diǎn).
判定
（1）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
（2）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
（4）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
（5）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.（不可直接證明為平行四邊形）
面積
（1）平行四邊形的面積公式：底×高（推導(dǎo)方法如圖）；如用“h”表示高,“a”表示底,“s”表示平行四邊形面積, 則S平行四邊=ah
（2）平行四邊形的面積等于兩組鄰邊的積乘以?shī)A角的正弦值；如用“a”“b”表示兩組鄰邊長(zhǎng),@表示兩邊的夾角,“S”表示平行四邊形的面積, 則S平行四邊形=ab*sinA
三角形
定義
由三條邊首尾相接組成的內(nèi)角和為180°的封閉圖形叫做三角形.三角形可分為銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形
性質(zhì)
1.三角形的任何兩邊的和一定大于第三邊 ,由此亦可證明得三角形的任意兩邊的差一定小于第三邊.
2.三角形內(nèi)角和等于180度
3.等腰三角形的頂角平分線,底邊的中線,底邊的高重合,即三線合一.
4.直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方--勾股定理.直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半.
5.三角形的外角（三角形內(nèi)角的一邊與其另一邊的延長(zhǎng)線所組成的角）等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和.
6.一個(gè)三角形最少有2個(gè)銳角.
7.三角形的角平分線:三角形一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段.
8.等腰三角形中,等腰三角形頂角的平分線平分底邊并垂直于底邊.
9.勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有下面關(guān)系（a^2+b^2=c^2.） 那么這個(gè)三角形就一定是直角三角形.
10.三角形的外角和是360°.
11.等底等高的三角形面積相等.
12.底相等的三角形的面積之比等于其高之比,高相等的三角形的面積之比等于其底之比.
13.三角形三條中線的長(zhǎng)度的平方和等于它的三邊的長(zhǎng)度平方和的3/4.
14.在△ABC中恒滿足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC.
15.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.
16.全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等.
17.三角形的中心在三條中線的交點(diǎn)上.
18在三角形中至少有一個(gè)角大于等于60度,也至少有一個(gè)角小于等于60度.
判定
由三條邊首尾相接組成的內(nèi)角和為180°的封閉圖形
面積
(1)S△=1/2ah （a是三角形的底,h是底所對(duì)應(yīng)的高）
(2)S△=1/2acsinB＝1/2bcsinA＝1/2absinC （三個(gè)角為∠A∠B∠C,對(duì)邊分別為a,b,c,參見三角函數(shù)）
(3)S△=√〔p(p-a)(p-b)(p-c)〕 〔p=1/2(a+b+c)〕（海倫—秦九韶公式）(4)S△=abc/(4R) (R是外接圓半徑)
(5)S△=1/2(a+b+c)r (r是內(nèi)切圓半徑)
（6)S△=c^2sinAsinB/2sin(A+B)