二、函數(shù)
一、映射與函數(shù)：
（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函數(shù)的概念：
如：若 , ；問： 到 的映射有 個, 到 的映射有 個； 到 的函數(shù)有 個,若 ,則 到 的一一映射有 個.
函數(shù) 的圖象與直線 交點的個數(shù)為 個.
二、函數(shù)的三要素： , , .
相同函數(shù)的判斷方法：① ；② (兩點必須同時具備)
（1）函數(shù)解析式的求法：
①定義法（拼湊）：②換元法：③待定系數(shù)法：④賦值法：
（2）函數(shù)定義域的求法：
① ,則 ； ② 則 ；
③ ,則 ； ④如： ,則 ；
⑤含參問題的定義域要分類討論；
如：已知函數(shù) 的定義域是 ,求 的定義域.
⑥對于實際問題,在求出函數(shù)解析式后；必須求出其定義域,此時的定義域要根據(jù)實際意義來確定.如：已知扇形的周長為20,半徑為 ,扇形面積為 ,則 ；定義域為 .
（3）函數(shù)值域的求法：
①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為型如： 的形式；
②逆求法（反求法）：通過反解,用 來表示 ,再由 的取值范圍,通過解不等式,得出 的取值范圍；常用來解,型如： ；
④換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù),化歸思想；
⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù),運(yùn)用三角函數(shù)有界性來求值域；
⑥基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如： ,利用平均值不等式公式來求值域；
⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù),可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域.
⑧數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形,利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域.
求下列函數(shù)的值域：① （2種方法）；
② （2種方法）；③ （2種方法）；
三、函數(shù)的性質(zhì)：
函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性
單調(diào)性：定義：注意定義是相對與某個具體的區(qū)間而言.
判定方法有：定義法（作差比較和作商比較）
導(dǎo)數(shù)法（適用于多項式函數(shù)）
復(fù)合函數(shù)法和圖像法.
應(yīng)用：比較大小,證明不等式,解不等式.
奇偶性：定義：注意區(qū)間是否關(guān)于原點對稱,比較f(x) 與f(-x)的關(guān)系.f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為偶函數(shù)；
f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)為奇函數(shù).
判別方法：定義法, 圖像法 ,復(fù)合函數(shù)法
應(yīng)用：把函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.
周期性：定義：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+T)=f(x),則T為函數(shù)f(x)的周期.
其他：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+a)=f(x－a),則2a為函數(shù)f(x)的周期.
應(yīng)用：求函數(shù)值和某個區(qū)間上的函數(shù)解析式.
四、圖形變換：函數(shù)圖像變換：（重點）要求掌握常見基本函數(shù)
五、反函數(shù)：
（1）定義：
（2）函數(shù)存在反函數(shù)的條件： ；
（3）互為反函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系： ；
（4）求反函數(shù)的步驟：①將 看成關(guān)于 的方程,解出 ,若有兩解,要注意解的選擇；②將 互換,得 ；③寫出反函數(shù)的定義域（即 的值域）.
（5）互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系： ；
（6）原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性；
（7）原函數(shù)為奇函數(shù),則其反函數(shù)仍為奇函數(shù)；原函數(shù)為偶函數(shù),它一定不存在反函數(shù).
如：求下列函數(shù)的反函數(shù)： ； ；
七、常用的初等函數(shù)：
（1）一元一次函數(shù)： ,當(dāng) 時,是增函數(shù)；當(dāng) 時,是減函數(shù)；
（2）一元二次函數(shù)：
一般式： ；對稱軸方程是 ；頂點為 ；
兩點式： ；對稱軸方程是 ；與 軸的交點為 ；
頂點式： ；對稱軸方程是 ；頂點為 ；
①一元二次函數(shù)的單調(diào)性：
當(dāng) 時： 為增函數(shù)； 為減函數(shù)；當(dāng) 時： 為增函數(shù)； 為減函數(shù)；
②二次函數(shù)求最值問題：首先要采用配方法,化為 的形式,
Ⅰ、若頂點的橫坐標(biāo)在給定的區(qū)間上,則
時：在頂點處取得最小值,最大值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點處取得；
時：在頂點處取得最大值,最小值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點處取得；
Ⅱ、若頂點的橫坐標(biāo)不在給定的區(qū)間上,則
時：最小值在距離對稱軸較近的端點處取得,最大值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點處取得；
時：最大值在距離對稱軸較近的端點處取得,最小值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點處取得；
有三個類型題型：
(1)頂點固定,區(qū)間也固定.如：
(2)頂點含參數(shù)(即頂點變動),區(qū)間固定,這時要討論頂點橫坐標(biāo)何時在區(qū)間之內(nèi),何時在區(qū)間之外.
(3)頂點固定,區(qū)間變動,這時要討論區(qū)間中的參數(shù)．
③二次方程實數(shù)根的分布問題： 設(shè)實系數(shù)一元二次方程 的兩根為 ；則：
根的情況
等價命題 在區(qū)間 上有兩根 在區(qū)間 上有兩根 在區(qū)間 或 上有一根
充要條件
注意：若在閉區(qū)間 討論方程 有實數(shù)解的情況,可先利用在開區(qū)間 上實根分布的情況,得出結(jié)果,在令 和 檢查端點的情況.
（3）反比例函數(shù)：
（4）指數(shù)函數(shù)：
指數(shù)運(yùn)算法則： ； ； .
指數(shù)函數(shù)：y= (ao,a≠1),圖象恒過點（0,1）,單調(diào)性與a的值有關(guān),在解題中,往往要對a分a1和0a1兩種情況進(jìn)行討論,要能夠畫出函數(shù)圖象的簡圖.
（5）對數(shù)函數(shù)：
指數(shù)運(yùn)算法則： ； ； ；
對數(shù)函數(shù)：y= (ao,a≠1) 圖象恒過點（1,0）,單調(diào)性與a的值有關(guān),在解題中,往往要對a分a1和0a1兩種情況進(jìn)行討論,要能夠畫出函數(shù)圖象的簡圖.
注意：（1） 與 的圖象關(guān)系是 ；
（2）比較兩個指數(shù)或?qū)?shù)的大小的基本方法是構(gòu)造相應(yīng)的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù),若底數(shù)不相同時轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的指數(shù)或?qū)?shù),還要注意與1比較或與0比較.
（3）已知函數(shù) 的定義域為 ,求 的取值范圍.
已知函數(shù) 的值域為 ,求 的取值范圍.
六、 的圖象：
定義域： ；值域： ； 奇偶性： ； 單調(diào)性： 是增函數(shù)； 是減函數(shù).
七、補(bǔ)充內(nèi)容：
抽象函數(shù)的性質(zhì)所對應(yīng)的一些具體特殊函數(shù)模型：
① 正比例函數(shù)
② ； ；
③ ； ；
④ ；