f(x+y)=f(x)f(y)
令x=y=0,得f(0)=(f(0))^2,
f(0)=0或f(0)=1,
若f(0)=0,則對(duì)任何x,f(x+0)=f(x)f(0),
f(x)≡0,不滿足f'(0)=2,
所以,f(0)=1.
函數(shù)f(x)在R內(nèi)可導(dǎo),所以f(x)在R內(nèi)連續(xù),
對(duì)任意x,y∈R,若f(x+y)=f(x)f(y)成立,則f(x)≡0或f(x)=a^x,
若f(x)≡0,不滿足f'(0)=2,
若f(x)=a^x,f'(0)=lna=2,a=e^2,f(x)=e^(2x),
f(0)=1.
后一種方法是完全嚴(yán)格的,前一種方法實(shí)際上只證明了,如果滿足條件的函數(shù)存在,那么一定有f(0)=1,但是沒有證明滿足條件的函數(shù)一定存在.
問題補(bǔ)充：為什么不能用f'(x+y)=[f(x)f(y)]'
如果把x看成自變量,y看成常量,求導(dǎo)結(jié)果是f'(x+y)=f'(x)f(y),
如果把y看成自變量,x看成常量,求導(dǎo)結(jié)果是f'(x+y)=f(x)f'(y),
結(jié)果也都是f(0)=1.
明白?