數(shù)學悖論與三次數(shù)學危機
陳基耿
摘要：數(shù)學發(fā)展從來不是完全直線式的,而是常常出現(xiàn)悖論.歷史上一連串的
數(shù)學悖論動搖了人們對數(shù)學可靠性的信仰,數(shù)學史上曾經(jīng)發(fā)生了三次數(shù)學危機.數(shù)學悖論的產(chǎn)生和危機的出現(xiàn),不單給數(shù)學帶來麻煩和失望,更重要的是給數(shù)學的發(fā)展帶來新的生機和希望,促進了數(shù)學的繁榮.危機產(chǎn)生、解決、又產(chǎn)生的無窮反復過程,不斷推動著數(shù)學的發(fā)展,這個過程也是數(shù)學思想獲得重要發(fā)展的過程.
關(guān)鍵詞：數(shù)學悖論；數(shù)學危機；畢達哥拉斯悖論；貝克萊悖論；羅素悖論
數(shù)學歷來被視為嚴格、和諧、精確的學科,縱觀數(shù)學發(fā)展史,數(shù)學發(fā)展從來不是完全直線式的,他的體系不是永遠和諧的,而常常出現(xiàn)悖論.悖論是指在某一一定的理論體系的基礎上,根據(jù)合理的推理原則,推出了兩個互相矛盾的命題,或者是證明了這樣一個復合命題,它表現(xiàn)為兩個互相矛盾的命題的等價式[1].數(shù)學悖論在數(shù)學理論中的發(fā)展是一件嚴重的事,因為它直接導致了人們對于相應理論的懷疑,而如果一個悖論所涉及的面十分廣泛的話,甚至涉及到整個學科的基礎時,這種懷疑情緒又可能發(fā)展成為普遍的危機感,特別是一些重要悖論的產(chǎn)生自然引起人們對數(shù)學基礎的懷疑以及對數(shù)學可靠性信仰的動搖.數(shù)學史上曾經(jīng)發(fā)生過三次數(shù)學危機,每次都是由一兩個典型的數(shù)學悖論引起的.本文回顧了歷史上發(fā)生的三次數(shù)學危機,重點介紹了三次數(shù)學危機對數(shù)學發(fā)展的重要作用.
1畢達哥拉斯悖論與第一次數(shù)學危機
1.1第一次數(shù)學危機的內(nèi)容
公元前六世紀,在古希臘學術(shù)界占統(tǒng)治地位的畢達哥拉斯學派,其思想在當時被認為是絕對權(quán)威的真理,畢達哥拉斯學派倡導的是一種稱為“唯數(shù)論”的哲學觀點,他們認為宇宙的本質(zhì)就是數(shù)的和諧[2].他們認為萬物皆數(shù),而數(shù)只有兩種,就是正整數(shù)和可通約的數(shù)（即分數(shù),兩個整數(shù)的比）, 除此之外不再有別的數(shù),即是說世界上只有整數(shù)或分數(shù).
畢達哥拉斯學派在數(shù)學上的一項重大貢獻是證明了畢達哥拉斯定理[3],也就是我們所說的勾股定理.勾股定理指出直角三角形三邊應有如下關(guān)系,即a2=b2+c2,a和b分別代表直角三角形的兩條直角邊,c表示斜邊.
然而不久畢達哥拉斯學派的一個學生希伯斯很快便發(fā)現(xiàn)了這個論斷的問題.他發(fā)現(xiàn)邊長相等的正方形其對角線長并不能用整數(shù)或整數(shù)之比來表示.假設正方形邊長為1,并設其對角線長為d,依勾股定理應有d2=12+12=2,即d2=2,那么d是多少呢?顯然d不是整數(shù),那它必是兩整數(shù)之比.希伯斯花了很多時間來尋找這兩個整數(shù)之比,結(jié)果沒找著,反而找到了兩數(shù)不可通約性的證明[4],用反證法證明如下：設Rt△ABC,兩直角邊為a=b,則由勾股定理有c2=2a2,設已將a和c中的公約數(shù)約去,即a、c已經(jīng)互素,于是c為偶數(shù),a為奇數(shù),不妨令c=2m,則有(2m)2=2a2,a2=2m2,于是a為偶數(shù),這與前面已證a為奇數(shù)矛盾.這一發(fā)現(xiàn)歷史上稱為畢達哥拉斯悖論.
1.2第一次數(shù)學危機的影響
畢達哥拉斯悖論的出現(xiàn),對畢達哥拉斯學派產(chǎn)生了沉重的打擊,“數(shù)即萬物”的世界觀被極大的動搖了,有理數(shù)的尊崇地位也受到了挑戰(zhàn),因此也影響到了整個數(shù)學的基礎,使數(shù)學界產(chǎn)生了極度的思想混亂,歷史上稱之為第一次數(shù)學危機.
第一次數(shù)學危機的影響是巨大的,它極大的推動了數(shù)學及其相關(guān)學科的發(fā)展.首先,第一次數(shù)學危機讓人們第一次認識到了無理數(shù)的存在,無理數(shù)從此誕生了,之后,許多數(shù)學家正式研究了無理數(shù),給出了無理數(shù)的嚴格定義,提出了一個含有有理數(shù)和無理數(shù)的新的數(shù)類——實數(shù),并建立了完整的實數(shù)理論[5],為數(shù)學分析的發(fā)展奠定了基礎.再者,第一次數(shù)學危機表明,直覺和經(jīng)驗不一定靠得住,推理證明才是可靠的,從此希臘人開始重視演繹推理,并由此建立了幾何公理體系.歐氏幾何就是人們?yōu)榱讼?解除危機,在這時候應運而生的[6].第一次數(shù)學危機極大地促進了幾何學的發(fā)展,使幾何學在此后兩千年間成為幾乎是全部嚴密數(shù)學的基礎,這不能不說是數(shù)學思想史上的一次巨大革命.　
2貝克萊悖論與第二次數(shù)學危機
2.1第二次數(shù)學危機的內(nèi)容
公元17世紀,牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分,微積分能提示和解釋許多自然現(xiàn)象,它在自然科學的理論研究和實際應用中的重要作用引起人們高度的重視.然而,因為微積分才剛剛建立起來,這時的微積分只有方法,沒有嚴密的理論作為基礎,許多地方存在漏洞,還不能自圓其說.
例如牛頓當時是這樣求函數(shù)y＝xn的導數(shù)的[7]：（x＋△x）n＝xn＋n•xn-1•△x＋[n（n+1）/2]•xn-2•(△x)2＋……＋（△x）n,然后用自變量的增量△x除以函數(shù)的增量△y ,△y/△x＝[（x＋△x）n－xn ]/△x＝n•xn-1＋[n（n-1）/2] •xn-2•△x＋……＋n•x•（△x）n-2＋（△x）n-1,最后,扔掉其中含有無窮小量△x的項,即得函數(shù)y=xn的導數(shù)為y′=nxn-1.
對于牛頓對導數(shù)求導過程的論述,哲學家貝克萊很快發(fā)現(xiàn)了其中的問題,他一針見血的指出：先用△x為除數(shù)除以△y,說明△x不等于零,而后又扔掉含有△x的項,則又說明△x等于零,這豈不是自相矛盾嗎?因此貝克萊嘲弄無窮小是“逝去的量的鬼魂”,他認為微積分是依靠雙重的錯誤得到了正確的結(jié)果,說微積分的推導是“分明的詭辯”.[8]這就是著名的“貝克萊悖論”.
確實,這種在同一問題的討論中,將所謂的無窮小量有時作為0,有時又異于0的做法,不得不讓人懷疑.無窮小量究竟是不是零?無窮小及其分析是否合理?貝克萊悖論的出現(xiàn)危及到了微積分的基礎,引起了數(shù)學界長達兩個多世紀的論戰(zhàn),從而形成了數(shù)學發(fā)展史中的第二次危機.
2.2第二次數(shù)學危機的影響[8]
第二次數(shù)學危機的出現(xiàn),迫使數(shù)學家們不得不認真對待無窮小量△x,為了克服由此引起思維上的混亂,解決這一危機,無數(shù)人投入大量的勞動.在初期,經(jīng)過歐拉、拉格朗日等人的努力,微積分取得了一些進展；從19世紀開始為徹底解決微積分的基礎問題,柯西、外爾斯特拉斯等人進行了微積分理論的嚴格化工作.微積分內(nèi)在的根本矛盾,就是怎樣用數(shù)學的和邏輯的方法來表現(xiàn)無窮小,從而表現(xiàn)與無窮小緊密相關(guān)的微積分的本質(zhì).在解決使無窮小數(shù)學化的問題上,出現(xiàn)了羅比達公理：一個量增加或減少與之相比是無窮小的另一個量,則可認為它保持不變.而柯西采用的ε－δ方法刻畫無窮小,把無窮小定義為以0為極限的變量,沿用到今,無窮小被極限代替了.后來外爾斯特拉斯又把它明確化,給出了極限的嚴格定義,建立了極限理論,這樣就使微積分建立在極限基礎之上了.極限的ε－δ定義就是用靜態(tài)的ε－δ刻畫動態(tài)極限,用有限量來描述無限性過程,它是從有限到無限的橋梁和路標,它表現(xiàn)了有限與無限的關(guān)系,使微積分朝科學化、數(shù)學化前進了一大步.極限理論的建立加速了微積分的發(fā)展,它不僅在數(shù)學上,而且在認識論上也有重大的意義.后來在考查極限理論的基礎中,經(jīng)過代德金、康托爾、海涅、外爾斯特拉斯和巴門赫等人的努力,產(chǎn)生了實數(shù)理論；在考查實數(shù)理論的基礎時,康托爾又創(chuàng)立了集合論.這樣有了極限理論、實數(shù)理論和集合論三大理論后,微積分才算建立在比較穩(wěn)固和完美的基礎之上了,從而結(jié)束了二百多年的紛亂爭論局面,進而開辟了下一個世紀的函數(shù)論的發(fā)展道路.
3羅素悖論與第三次數(shù)學危機
3.1第三次數(shù)學危機的內(nèi)容
在前兩次數(shù)學危機解決后不到30年即19世紀70年代,德國數(shù)學家康托爾創(chuàng)立了集合論,集合論是數(shù)學上最具革命性的理論,初衷是為整個數(shù)學大廈奠定堅實的基礎.1900年,在巴黎召開的國際數(shù)學家會議上,法國大數(shù)學家龐加萊興奮的宣布[9]：“我們可以說,現(xiàn)在數(shù)學已經(jīng)達到了絕對的嚴格.”然而,正當人們?yōu)榧险摰恼Q生而歡欣鼓舞之時,一串串數(shù)學悖論卻冒了出來,又攪得數(shù)學家心里忐忑不安,其中英國數(shù)學家羅素1902年提出的悖論影響最大,“羅素悖論”的內(nèi)容是這樣的：設集合B是一切不以自身為元素的集合所組成的集合,問：B是否屬于B?若B屬于B,則B是B的元素,于是B不屬于自身,即B不屬于B；反之,若B不屬于B,則B不是B的元素,于是B屬于自己,即B屬于B.這樣,利用集合的概念,羅素導出了——集合B不屬于B當且僅當集合B屬于B時成立的悖論.之后,羅素本人還提出了羅素悖論的通俗版本,即理發(fā)師悖論[10].理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他只為村子里不給自己刮胡子的人刮胡子.那么現(xiàn)在的問題是,理發(fā)師的胡子應該由誰來刮?.如果他自己給自己刮胡子,那么他就是村子里給自己刮胡子的人,根據(jù)他的原則,他就不應給自己刮胡子；如果他不給自己刮胡子,那么他就是村子里不給自己刮胡子的人,那么又按他的原則他就該為自己刮胡子.同樣有產(chǎn)生了這樣的悖論：理發(fā)師給自己刮胡子當且僅當理發(fā)師不給自己刮胡子.這就是歷史上著名的羅素悖論.羅素悖論的出現(xiàn),動搖了數(shù)學的基礎,震撼了整個數(shù)學界,導致了第三次數(shù)學危機.
3.2第三次數(shù)學危機的影響
羅素悖論的出現(xiàn),動搖了本來作為整個數(shù)學大廈的基礎——集合論,自然引起人們對數(shù)學基本結(jié)構(gòu)有效性的懷疑.羅素悖論的高明之處,還在于它只是用了集合的概念本身,而并不涉及其它概念而得出來的,使人們更是無從下手解決.羅素悖論導致的第三次數(shù)學危機,使數(shù)學家們面臨著極大的困難.
數(shù)學家弗雷格在他剛要出版的《論數(shù)學基礎》卷二末尾就寫道[11]：“對一位科學家來說,沒有一件比下列事實更令人掃興：當他工作剛剛完成的時候,它的一塊基石崩塌下來了.在本書的印刷快要完成時,羅素先生給我的一封信就使我陷入這種境地.”可見第三次數(shù)學危機使人們面臨多么尷尬的境地.然而科學面前沒有人會回避,數(shù)學家們立即投入到了消除悖論的工作中,值得慶幸的是,產(chǎn)生羅素悖論的根源很快被找到了,原來康托爾提出集合論時對“集合”的概念沒有做必要的限制,以至于可以構(gòu)造“一切集合的集體”這種過大的集合而產(chǎn)生了悖論.
為了從根本上消除集合論中出現(xiàn)的各種悖論,特別是羅素悖論,許多數(shù)學家進行了不懈的努力.如以羅素為主要代表的邏輯主義學派[12],提出了類型論以及后來的曲折理論、限制大小理論、非類理論和分支理論,這些理論都對消除悖論起到了一定的作用；而最重要的是德國數(shù)學家策梅羅提出的集合論的公理化,策梅羅認為,適當?shù)墓眢w系可以限制集合的概念,從邏輯上保證集合的純粹性,他首次提出了集合論公理系統(tǒng),后經(jīng)費蘭克爾、馮•諾伊曼等人的補充形成了一個完整的集合論公理體系（ZFC系統(tǒng)）[5],在ZFC系統(tǒng)中,“集合”和“屬于”是兩個不加定義的原始概念,另外還有十條公理.ZFC系統(tǒng)的建立,使各種矛盾得到回避,從而消除了羅素悖論為代表的一系列集合悖論,第三次數(shù)學危機也隨之銷聲匿跡了.
盡管悖論消除了,但數(shù)學的確定性卻在一步一步喪失,現(xiàn)代公理集合論一大堆公理是在很難說孰真孰假,可是又不能把它們一古腦消除掉,它們跟整個數(shù)學是血肉相連的,所以第三次危機表面上解決了,實質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)[7].為了消除第三次數(shù)學危機,數(shù)理邏輯也取得了很大發(fā)展,證明論、模型論和遞歸論相繼誕生,出現(xiàn)了數(shù)學基礎理論、類型論和多值邏輯等.可以說第三次數(shù)學危機大大促進了數(shù)學基礎研究及數(shù)理邏輯的現(xiàn)代性,而且也因此直接造成了數(shù)學哲學研究的“黃金時代”.
4結(jié)語
歷史上的三次數(shù)學危機,給人們帶來了極大的麻煩,危機的產(chǎn)生使人們認識到了現(xiàn)有理論的缺陷,科學中悖論的產(chǎn)生常常預示著人類的認識將進入一個新階段,所以悖論是科學發(fā)展的產(chǎn)物,又是科學發(fā)展源泉之一.第一次數(shù)學危機使人們發(fā)現(xiàn)無理數(shù),建立了完整的實數(shù)理論,歐氏幾何也應運而生并建立了幾何公理體系；第二次數(shù)學危機的出現(xiàn),直接導致了極限理論、實數(shù)理論和集合論三大理論的產(chǎn)生和完善,使微積分建立在穩(wěn)固且完美的基礎之上；第三次數(shù)學危機,使集合論成為一個完整的集合論公理體系（ZFC系統(tǒng)）,促進了數(shù)學基礎研究及數(shù)理邏輯的現(xiàn)代性.
數(shù)學發(fā)展的歷史表明對數(shù)學基礎的深入研究、悖論的出現(xiàn)和危機的相對解決有著十分密切的關(guān)系,每一次危機的消除都會給數(shù)學帶來許多新內(nèi)容、新認識,甚至是革命性的變化,使數(shù)學體系達到新的和諧,數(shù)學理論得到進一步深化和發(fā)展.悖論的存在反映了數(shù)學概念、原理在一定歷史階段會存在很多矛盾,導致人們的懷疑,產(chǎn)生危機感,然而事物就是在不斷產(chǎn)生矛盾和解決矛盾中逐漸發(fā)展完善起來的,舊的矛盾解決了,新的矛盾還會產(chǎn)生,而就是在其過程中,人們便不斷積累了新的認識、新的知識,發(fā)展了新的理論.數(shù)學家對悖論的研究和解決促進了數(shù)學的繁榮和發(fā)展,數(shù)學中悖論的產(chǎn)生和危機的出現(xiàn),不單是給數(shù)學帶來麻煩和失望,更重要的是給數(shù)學的發(fā)展帶來新的生機和希望.
數(shù)學中悖論和危機的歷史也說明了這一點：已有的悖論和危機消除了,又產(chǎn)生新的悖論和危機.但是人的認識是發(fā)展的,悖論或危機遲早都能獲得解決.“產(chǎn)生悖論和危機,然后努力解決它們,而后又產(chǎn)生新的悖論和危機.”這是一個無窮反復的過程,也就不斷推動著數(shù)學的發(fā)展,這個過程也是數(shù)學思想獲得重要發(fā)展的過程.
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