太復雜了,一大堆文字...有時間寫下來,
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Euler 1734年的推導過程——
從log(1 + 1/x) = 1/x - 1/(2x^2) + 1/(3x^3) - 1/(4x^4) + .出發(fā),于是
1/x = log[(x + 1)/x] + 1/(3x^3) - 1/(4x^4) + .
代入x = 1,2,3,4...n,就給出
1/1 = log(2/1) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...,
1/2 = log(3/2) + 1/(2*4) - 1/(3*8) + 1/(4*16) -...
.
1/n = log[(n+1)/n] + 1/(2*n^2) - 1/(3*n^3) + 1/(4*n^4) -...
相加,并注意到每一個對數項都是兩個隊輸之差,就得到
Sn = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .+ 1/n
= log(n+1) + 1/2*(1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...+ 1/n^2)
- 1/3*(1 + 1/8 + 1/27 + ...+ 1/n^3)
+ 1/4*(1 + 1/16 + 1/81 + ...+ 1/n^4)
.
將上面式子簡化為
Sn = log(n+1) + C
其中 C 就是著名的歐拉常數,大約為0.577218
至此可以看出,Sn 在 n 趨近于無窮的時候數值將單調增長,沒有邊界（無窮大）.級數發(fā)散.