(1) .令F(x) =f(x) - x
F(1/2) =f(1/2) - 1/2 =1/2>0
F(1 )= f(1) -1 =-1<0
所以：F(1/2) *F(1) <0
由介值定理,在ξ∈(1/2,1),必有F(ξ) = 0
既：f(ξ)=ξ;
(2).令F(x) = f(x) -x
F(1/2) =f(1/2) - 1/2 =1/2>0
F(1 ) = f(1) -1 =-1<0
所以：F(1/2) *F(1) <0
由介值定理,在ξ∈(1/2,1),必有F(ξ) = 0,又F(0) = 0
在[0,ξ]上對F(x)用羅爾定理,存在η∈(0,ξ),使得F‘(ξ) = 0
既：f'（η）= 1
(3).令g(x) =exp(-λx)*F(x)
又：g(0) = 0,g(ξ) = 0.
由羅爾定理,
對任意實數(shù)λ,必存在x0∈(0,ξ),
使得：g'(x0) =exp(-λx0)*[f'(x0) - 1 - λ[f(x0)-x0]] =0
又exp(-λx0)>0
既：f'(x0)-λ[f(x0)-x0]=1

exp表示自然對數(shù).exp(-λx)表示exp的-λx 次方