三角函數(shù)y=sin(x)的有理數(shù)和無理數(shù)鬧矛盾了
三角函數(shù)y=sin(x)的有理數(shù)和無理數(shù)鬧矛盾了
三角函數(shù)y=sin(x),當x=0時y=0,這時候x和y都是有理數(shù),在其他x不等于0的情況下發(fā)現(xiàn),當x是有理數(shù)時,y是無理數(shù),當x是無理數(shù)時,y是有理數(shù).那么可不可以找到一個點（x,y）,x和y都同為無理數(shù)或者有理數(shù)?這是不是那個pi搞的鬼?如果證明的話,是不是要把泰勒公式什么的拉出來?求數(shù)學高手解答.\x09求大神幫助
三角函數(shù)y=sin(x),當x=0時y=0,這時候x和y都是有理數(shù),在其他x不等于0的情況下發(fā)現(xiàn),當x是有理數(shù)時,y是無理數(shù),當x是無理數(shù)時,y是有理數(shù).那么可不可以找到一個點（x,y）,x和y都同為無理數(shù)或者有理數(shù)?這是不是那個pi搞的鬼?如果證明的話,是不是要把泰勒公式什么的拉出來?求數(shù)學高手解答.\x09求大神幫助
數(shù)學人氣：976 ℃時間：2020-04-08 15:51:37
優(yōu)質解答
很容易找到x和y都同為無理數(shù)的例子.下面證明除(0,0)外,x和y不可能同為有理數(shù).反證法,假設x和y同為有理數(shù).y為有理數(shù),所以它是代數(shù)數(shù),所以sqrt(1-y^2)是代數(shù)數(shù),所以cos x是代數(shù)數(shù),所以cos x+i sin x=e^(i x)是代數(shù)數(shù),這與Lindemann–Weierstrass定理產(chǎn)生矛盾.
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