自由未知量的一般選取方法:
先將系數(shù)矩陣經(jīng)初等行變換化成行簡化梯矩陣
非零行的首非零元所在列對應的是約束未知量
其余未知量即為自由未知量
由上面的選取方法可知:
約束未知量所在列即構成A的列向量組的一個極大無關組
自由未知量所在列可由此極大無關組唯一線性表示
這樣就能保證:對于自由未知量任取一組數(shù)都能唯一解出約束未知量
把方程組表示成向量形式就更清楚了:
比如, α1,...,αr 是 α1,...,αn 的一個極大無關組
則 xr+1,...,xn 是自由未知量
方程寫成
x1α1+...+xrαr = -xr+1αr+1+...-xnαn
對xr+1,...,xn的任一組取值,
線性組合-xr+1αr+1+...-xnαn可由α1,...,αr唯一線性表示
即可唯一確定約束未知量 x1,...,xr.
例: 齊次線性方程組
x1-x2+x3-x4=0
x1-x2-x3+x4=0
x1-x2-2x3+2x4=0
分析: 系數(shù)矩陣 A =
1 -11 -1
1 -1 -11
1 -1 -22
r2-r1,r3-r1
1 -11 -1
00 -22
00 -33
r2*(-1/2),r3+3r2,r1-r2
1 -100
001 -1
0000
根據(jù)一般選取方法, x1,x3 是約束未知量, x2,x4 是自由未知量
同解方程組為
x1=x2
x3=x4
對 x2,x4 任取一組數(shù), 可唯一解出 x1,x3.
那么, 能不能取x1,x4作為自由未知量呢?
按上面提到的原則是可以的
因為第2,3列也是一個極大無關組
已答,滿意請采納^_^