由n是正整數(shù)，

9n?1 n+7

為有理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)（n+7）?

9n?1 n+7

=

(9n?1)(n+7)

為有理數(shù)．
而（9n-1）（n+7）是整數(shù)，其平方根若為有理數(shù)則必為整數(shù)．
設(shè)非負(fù)整數(shù)m滿足m²=（9n-1）（n+7）=9n²+62n-7．
則9m²=（9n）²+62（9n）-63=（9n+31）²-31²-63=（9n+31）²-1024．
即有1024=（9n+31）²-9m²=（9n+31+3m）（9n+31-3m）．
9n+31+3m是1024的約數(shù)．
n是正整數(shù)，m是非負(fù)整數(shù)，故9n+31+3m是大于31的整數(shù)．
此外，易見9n+3m+31除以3余1．
滿足條件的1024的約數(shù)有64，256，1024．
若9n+31+3m=64，有9n+31-3m=

1024

64

=16，解得n=1．
若9n+31+3m=256，有9n+31-3m=

1024

256

=4，解得n=11．
若9n+31+3m=1024，有9n+31-3m=

1024

1024

=1，解不為整數(shù)．
可驗(yàn)證n=1時(shí)

9n?1 n+7

=1，n=11時(shí)

9n?1 n+7

=

7

3

為有理數(shù)．
故滿足條件的正整數(shù)為1，11．