∵△ABC是銳角三角形,且c是最大邊,∴c＞2,且cosC＞0
由余弦定理,cosC＝(a²＋b²－c²)/(2ab),∴(a²＋b²－c²)/(2ab)＞0
∵2ab＞0,∴a²＋b²－c²＞0
∴c²＜a²＋b²＝1²＋2²＝5
∴c＜√5
綜上分析,最大邊c的取值范圍是：2＜c＜√5
如果你是初中生,沒學(xué)過余弦定理,那么證明如下：
∵c是最大邊,若是直角三角形,則c必為斜邊
c²＝a²＋b²＝1²＋2²＝5,∴c＝√5
但△ABC是銳角三角形,所以c＜√5
又∵c＞2,∴最大邊c的取值范圍是：2＜c＜√5
由此你可以進一步猜想：若△ABC是鈍角三角形,邊長a=1,b=2,則最大邊c的取值范圍是多少呢?
由上面的推導(dǎo)過程可知,c＞√5
同時,由三角形兩邊之和大于第三邊可知,c＜a＋b＝1＋2＝3,即c＜3
綜合起來可知,最大邊c的取值范圍是：√5＜c＜3
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