若有界集E滿足條件:inf{m(G):G是開集,E包含于G}=sup{m(k):k是緊集,k包含于E},證明E是可測集

數(shù)學人氣：439 ℃時間：2020-07-01 06:23:25

優(yōu)質(zhì)解答

設 inf{m(G):G是開集,E包含于G}=sup{m(k):k是緊集,k包含于E} = a.
由已知條件可得：
1.存在開集列 Gn,n= 1,2,...,使得：E包含于Gn,并且 G(n+1) 包含于Gn,m(Gn) < a + 1/n.
2.存在緊集列 Kn,n= 1,2,...,使得：Kn包含于E,并且 Kn 包含于K(n+1),m(Kn) > a - 1/n.
定義 G0 = 所有Gn的交集.K0 = 所有Kn的并集.于是 G0,K0可測,并且 m(G0)=m(K0)=a,同時,K0 包含于E 包含于G0.===》
E = K0 + (E-K0),其中 K0 可測,E-K0 包含于零測集 G0-K0,于是也可測.所以 E可測.