如圖（一）所示，
AB是矩形較短邊時，
∵矩形ABCD，
∴OA=OD=

1

2

BD；
∵OE：ED=1：3，
∴可設OE=x，ED=3x，則OD=2x
∵AE⊥BD，AE=

3

，
∴在Rt△OEA中，x²+（

3

）²=（2x）²，
∴x=1
∴BD=4．
當AB是矩形較長邊時，如圖（二）所示，
∵OE：ED=1：3，
∴設OE=x，則ED=3x，
∵OA=OD，
∴OA=4x，
在Rt△AOE中，x²+（

3

）²=（4x）²，
∴x=

5

5

，
∴BD=8x=8×

5

5

=

8 5

5

．
故答案為：4或

8 5

5

．