由均值不等式,3a⁴+16 = a⁴+a⁴+a⁴+16 ≥ 4·(a⁴·a⁴·a⁴·16)^(1/4) = 8|a|³.
即得5a³ ≤ 5|a|³ ≤ 5/8·(3a⁴+16) = 15a⁴/8+10 ①.
仍由均值不等式,3b⁴+1 = b⁴+b⁴+b⁴+1 ≥ 4·(a⁴·a⁴·a⁴·1)^(1/4) = 4|b|³,
得2b³ ≤ 2|b|³ ≤ (3b⁴+1)/2 = 3b⁴/2+1/2 ②.
同理3b⁴+1 ≥ 4|c|³,故3c³ ≤ 3|c|³ ≤ 3/4·(3c⁴+1) = 9c⁴/4+3/4 ③.
①+②+③得5a³+2b³+3c³ ≤ 15a⁴/8+10+3b⁴/2+1/2+9c⁴/4+3/4 = 3(5a⁴+4b⁴+6c⁴)/8+45/4 = 45.
可驗(yàn)證a = 2,b = c = 1時(shí)等號(hào)成立.
即所求最大值就是45.
注:其實(shí)我是先猜到取等條件,再根據(jù)取等條件用均值不等式放縮.
如果猜不到取等條件,可以用待定系數(shù)法.
如果知道Holder不等式,可以有如下方法.
根據(jù)Holder不等式,(5a⁴+4b⁴+6c⁴)^(3/4)·(5+1/4+3/8)^(1/4) ≥ 5|a|³+2|b|³+3|c|³.
故5a³+2b³+3c³ ≤ 90^(3/4)·(45/8)^(1/4) = 45^(3/4)·45^(1/4) = 45.
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a,b,c > 0并滿(mǎn)足5a⁴:4b⁴:6c⁴ = 5:1/4:3/8,可解得a = 2,b = c = 1.
常見(jiàn)的反向不等式的結(jié)論也是反向的,即能夠給出的是最小值.
例如:已知實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足a²+b²+c² = 1,求a⁴+b⁴+c⁴的最小值.
可直接由Cauchy不等式(1+1+1)(a⁴+b⁴+c⁴) ≥ (a²+b²+c²)² = 1得a⁴+b⁴+c⁴ ≥ 1/3.
可驗(yàn)證|a| = |b| = |c| = 1/√3時(shí)等號(hào)成立.
不過(guò)最大值也是存在的:
由0 ≤ a²,b²,c² ≤ 1,有a⁴ ≤ a²,b⁴ ≤ b²,c⁴ ≤ c².
故a⁴+b⁴+c⁴ ≤ a²+b²+c² = 1.
可驗(yàn)證在|a| = 1,b = c = 0及其輪換情形取得等號(hào).敢問(wèn)您是如何猜到取等的條件??？（不用Holder不等式？）這貌似有點(diǎn)困難的吧？有什么依據(jù)嗎？這里的取等條件剛好是唯一的正整數(shù)解,如果題目中的數(shù)字不是隨便寫(xiě)的, 還是挺有可能的吧.從出題的角度也不希望答案太繁瑣.其實(shí)待定系數(shù)也不是很難, 觀察系數(shù)比應(yīng)該就可以知道a:b:c = 2:1:1.