①x/（2¹º+5³）+y/（2¹º+6³）=1；x/（3¹º+5³）+y/（3¹º+6³）=1求x+y=?
（2¹º+6³）x+（2¹º+5³）y =（2¹º+6³）（2¹º+5³）
（3¹º+6³）x+（3¹º+5³）y=（3¹º+6³）（3¹º+5³）
兩式相減：（2¹º-3¹º）x+（2¹º-3¹º）y=（2¹º+6³）（2¹º+5³）-（3¹º+6³）（3¹º+5³）
故：x+y=2¹º+3¹º-6³-5³
②x²y+xy²=880求x²+y²=?
x²y+xy²=880,故：xy(x+y)=880
沒有其他條件無法求,任取x值,求出y值,代入x²+y²,求出的x²+y²是不同的
③x+y+z=a;x²+y²+z²=（1/2）a²求證:x≥0時(shí),y,z≤（2/3）a
因?yàn)閤+y+z=a,故：x+z=a-y,故：x²+2xz+z²=a²-2ay+y²
因?yàn)閤²+y²+z²=（1/2）a²
故：2xz+（1/2）a²- y²=a²-2ay+y²
故：xz= a²/4+y²-ay=(y-a/2) ²≥0,
因?yàn)閤≥0,故：z≥0,同理可求得y≥0
故：x、z可以看作方程p²-(a-y)p+(y-a/2) ² =0
故：△＝(a-y) ²－4(y-a/2) ²≥0,即：y(2a-3y) ≥0
因?yàn)閥≥0,故：2a-3y≥0,故：y≤（2/3）a
同理可求得z≤（2/3）a
④ x²+xy+y²=3求x²-xy+y²的取值范圍.
x²+xy+y²=3
令x²-xy+y²=p
故：x²+y²=(p+3)/2,xy=(3-p)/2
又：x²+y²≥2xy,故：(p+3)/2≥3-p故：p≥1(此時(shí)x=y時(shí)取等號(hào))
又：x²+y²+2xy=(x+y) ²= (p+3)/2+3-p≥0故：p≤9(此時(shí)x=-y時(shí)取等號(hào))
故：1≤p= x²-xy+y²≤9
⑤ xy+x+y=71求x、y
此題只能設(shè)定條件,方可求如x 、y為正整數(shù)或整數(shù)
因?yàn)閤y+x+y=71
故：xy+x+y+1=72
故：（x+1）(y+1)=72=1×72＝2×36＝3×24＝等等
然后一一對(duì)應(yīng),求解
①設(shè)S=（1+1/1²+1/2²）^½+（1+1/2²+1/3²）^½+……+(1+1/2000²+1/2001²）^½+（1+1/2001²+1/2002²）^½,則與S最接近的整數(shù)是（）
A.2000 B.2001 C.2002 D.2003
1+1/(n-1)²+1/n²
=[n² (n-1) ²+n²+(n-1) ²]/[ n² (n-1) ²]
=[n² (n-1) ²+2n²-2n+1]/[ n² (n-1) ²]
=[n² (n-1) ²+2n(n-1)+1]/[ n² (n-1) ²]
=(n²-n+1) ² /[ (n²-n) ²]
故：[1+1/(n-1)²+1/n²]^½=(n²-n+1)/ (n²-n)=1+1/(n²-n)= 1+1/[n(n-1)]=1+1/(n-1)-1/n
故：S=（1+1/1²+1/2²）^½+（1+1/2²+1/3²）^½+…+(1+1/2000²+1/2001²）^½+（1+1/2001²+1/2002²）^½
=(1+1/1-1/2)+(1+1/2-1/3)+(1+1/3-1/4)+…+(1+1/2000-1/2001)+(1+1/2001-1/2002)
=2002-1/2002
故：選C
②設(shè)a為（3+√5）^½-（3-√5）^½的小數(shù)部分, b為（6+3√3）^½-（6-3√3）^½的小數(shù)部分,則2/b-1/a的值為 A.√6-√2+1 B.√6+√2-1 C.√6-√2-1 D.√6+√2+1
3+√5=(12+4√5)/4=[(√10) ²+2√10•√2+(√2) ²]/4=(√10+√2) ²/4
故：（3+√5）^½=(√10+√2)/2
3-√5=(12-4√5)/4=[(√10) ²-2√10•√2+(√2) ²]/4=(√10-√2) ²/4
故：（3-√5）^½=(√10-√2)/2
故：（3+√5）^½-（3-√5）^½＝(√10+√2)/2－(√10-√2)/2＝√2
故：a=√2-1
又：6+3√3=(24+12√3)/4=[(√18) ²+2√18•√6+(√6) ²]/4=(√18+√6) ²/4
故：（6+3√3）^½==(√18+√6) /2
6-3√3=(24-12√3)/4=[(√18) ²-2√18•√6+(√6) ²]/4=(√18-√6) ²/4
故：（6-3√3）^½=(√18-√6) /2
故：（6+3√3）^½-（6-3√3）^½＝√6
故：b=√6-2
故：2/b-1/a=2/（√6-2）-1/(√2-1)
=2(√6+2)/[(√6-2)( √6+2)]- (√2+1)/[(√2-1) (√2+1)]
=(√6+2)- (√2+1)
=√6-√2+1
故：選A
③滿足0＜x＜y,及√1008=√x+√y的不同整數(shù)對(duì),則（x,y）的個(gè)數(shù)是（）個(gè).
因?yàn)椤?008＝12√7＝√7＋11√7＝2√7＋10√7＝3√7＋9√7＝4√7＋8√7＝5√7＋7√7
又0＜x＜y,故：x=7時(shí),y=847；x=28時(shí),y=700；x=63時(shí),y=567；x=112時(shí),y=448；x=175時(shí),y=343；
故：（x,y）的個(gè)數(shù)是（5）個(gè)
④化簡(jiǎn)S=（2+√5）^(1/3)+(2-√5）^(1/3).
因?yàn)椋?+√5）(2-√5）＝－1,（2+√5）＋(2-√5）＝4,
令2+√5=x,則：2-√5=-1/x,x-1/x=4
故：S=（2+√5）^(1/3)+(2-√5）^(1/3).=x^(1/3)-1/x^(1/3)
故：S ³=[ x^(1/3)-1/x^(1/3)] ³=x-3• x^(1/3)+ 3/x^(1/3)-1/x
=x-1/x-3[x^(1/3)-1/x^(1/3)]=4-3S
故：S ³+3S-4=0
S ³-S+4S-4=0
S(S+1)(S-1)+4(S-1)=0
(S-1)(S²+S+4)=0
因?yàn)镾²+S+4＞0,故：S＝1
⑤試求不超過（√3+√2）^6的最大整數(shù).
因?yàn)椋ā?+√2）（√3-√2）＝1
故設(shè)x=（√3+√2）^6=(5+2√6) ³,則：1/x=（√3-√2）^6 =(5-2√6) ³
x+1/x=（√3+√2）^6+（√3-√2）^6 =(5+2√6) ³+(5-2√6) ³
=[(5+2√6)+(5-2√6)][(5+2√6) ²-(5+2√6)(5-2√6)+(5-2√6) ²] =970
x-1/x=（√3+√2）^6-（√3-√2）^6 =(5+2√6) ³-(5-2√6) ³
=[(5+2√6)-(5-2√6)][(5+2√6) ²+(5+2√6)(5-2√6)+(5-2√6) ²] =396√6
故：x=485+198√6≈969.99
故：不超過（√3+√2）^6的最大整數(shù)是969
或：x=（√3+√2）^6=(5+2√6) ³＞1,則：0＜1/x＜1
故：969＜x=970-1/x＜970
故：不超過（√3+√2）^6的最大整數(shù)是969