趙爽弦圖 中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開(kāi)頭,記載著一段周公向商高請(qǐng)教數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)話：
周公問(wèn)：“我聽(tīng)說(shuō)您對(duì)數(shù)學(xué)非常精通,我想請(qǐng)教一下：天沒(méi)有梯子可以上去,地也沒(méi)法用尺子去一段一段丈量,那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢?”
商高回答說(shuō)：“數(shù)的產(chǎn)生來(lái)源于對(duì)方和圓這些形體餓認(rèn)識(shí).其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3,另一條直角邊‘股’等于4的時(shí)候,那么它的斜邊‘弦’就必定是5.這個(gè)原理是大禹在治水的時(shí)候就總結(jié)出來(lái)的呵.”
從上面所引的這段對(duì)話中,我們可以清楚地看到,我國(guó)古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理這一重要懂得數(shù)學(xué)原理了.稍懂平面幾何餓讀者都知道,所謂勾股定理,就是指在直角三角形中,兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.如圖所示,我們
圖1 直角三角形
用勾（a）和股（b）分別表示直角三角形得到兩條直角邊,用弦（c）來(lái)表示斜邊,則可得：
勾2+股2=弦2
亦即：
a2+b2=c2
勾股定理在西方被稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理,相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的.其實(shí),我國(guó)古代得到人民對(duì)這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用,遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多.如果說(shuō)大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無(wú)法確切考證的話,那么周公與商高的對(duì)話則可以確定在公元前1100年左右的西周時(shí)期,比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年.其中所說(shuō)的勾3股4弦5,正是勾股定理的一個(gè)應(yīng)用特例（32+42=52）.所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱(chēng)為勾股定理,應(yīng)該是非常恰當(dāng)?shù)?
在稍后一點(diǎn)的《九章算術(shù)一書(shū)》中,勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá).書(shū)中的《勾股章》說(shuō)；“把勾和股分別自乘,然后把它們的積加起來(lái),再進(jìn)行開(kāi)方,便可以得到弦.”把這段話列成算式,即為：
弦=（勾2+股2）(1/2)
亦即：
c=（a2+b2）(1/2)
中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理,而且很早就嘗試對(duì)勾股定理作理論的證明.最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的,是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽.趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,用形數(shù)結(jié)合得到方法,給出了勾股定理的詳細(xì)證明.在這幅“勾股圓方圖”中,以弦為邊長(zhǎng)得到正方形ABDE是由4個(gè)相等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成的.每個(gè)直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長(zhǎng)為b-a,則面積為（b-a）2.于是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）2=c2
化簡(jiǎn)后便可得：
a2+b2=c2
亦即：
c=（a2+b2）(1/2)
圖2 勾股圓方圖
趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心,極富創(chuàng)新意識(shí).他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系,既具嚴(yán)密性,又具直觀性,為中國(guó)古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹(shù)立了一個(gè)典范.以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且代有發(fā)展.例如稍后一點(diǎn)的劉徽在證明勾股定理時(shí)也是用的以形證數(shù)的方法,只是具體圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已.
中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明,在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位.尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法,更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義.事實(shí)上,“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法正是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)極其重要的條件.正如當(dāng)代中國(guó)數(shù)學(xué)家吳文俊所說(shuō)：“在中國(guó)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中,數(shù)量關(guān)系與空間形式往往是形影不離地并肩發(fā)展著的.十七世紀(jì)笛卡兒解析幾何的發(fā)明,正是中國(guó)這種傳統(tǒng)思想與方法在幾百年停頓后的重現(xiàn)與繼續(xù).”