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  • 如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分別為MB、PB、PC的中點(diǎn),且AD=PD=2MA. (Ⅰ)求證:平面EFG⊥平面PDC;(Ⅱ)求三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比.

    如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分別為MB、PB、PC的中點(diǎn),且AD=PD=2MA.

    (Ⅰ)求證:平面EFG⊥平面PDC;
    (Ⅱ)求三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比.
    數(shù)學(xué)人氣:935 ℃時(shí)間:2019-12-13 15:58:37
    優(yōu)質(zhì)解答
    (I)證明:由已知MA⊥平面ABCD,PD∥MA,
    所以PD⊥平面ABCD
    又BC?平面ABCD,
    因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,
    所以PD⊥BC
    又PD∩DC=D,
    因此BC⊥平面PDC
    在△PBC中,因?yàn)镚、F分別是PB、PC中點(diǎn),
    所以GF∥BC
    因此GF⊥平面PDC
    又GF?平面EFG,
    所以平面EFG⊥平面PDC;
    (Ⅱ)因?yàn)镻D⊥平面ABCD,
    四邊形ABCD為正方形,不妨設(shè)MA=1,
    則PD=AD=2,所以Vp-ABCD=
    1
    3
    S正方形ABCD,PD=
    8
    3

    由于DA⊥面MAB的距離
    所以DA即為點(diǎn)P到平面MAB的距離,
    三棱錐Vp-MAB=
    1
    3
    ×
    1
    2
    ×1×2×2=
    2
    3

    所以VP-MAB:VP-ABCD=1:4.
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