如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于D、E兩點，過點D作DF⊥AC，垂足為F． （1）求證：DF是⊙O的切線； （2）若AE=DE，DF=2，求⊙O的半徑．
如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于D、E兩點，過點D作DF⊥AC，垂足為F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若
 |
| AE |
=
 |
| DE |
，DF=2，求⊙O的半徑．
優(yōu)質(zhì)解答
（1）證明：連接OD，如圖，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵OD=OB，
∴∠B=∠1，
∴∠C=∠1，
∴OD∥AC．
∴∠2=∠FDO，
∵DF⊥AC，
∴∠2=90°，
∴∠FDO=90°，
∵OD為半徑，
∴FD是⊙O的切線；
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴∠3=∠4．
∴弧ED=弧DB
而弧AE=弧DE，
∴弧DE=弧DB=弧AE，
∴∠B=2∠4，
∴∠B=60°，
∴∠C=60°，△OBD為等邊三角形，
在Rt△CFD中，DF=2，∠CDF=30°，
∴CF=
DF=
，
∴CD=2CF=
，
∴DB=
，
∴OB=DB=
，
即⊙O的半徑為
．
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