證明：（1）連接DO．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠C=60°．
∵OA=OD，
∴△OAD是等邊三角形．
∴∠ADO=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°-∠C=30°，（2分）
∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°，
∴DF為⊙O的切線；（3分）
（2）∵△OAD是等邊三角形，
∴AD=AO=

1

2

AB=2．
∴CD=AC-AD=2．
Rt△CDF中，
∵∠CDF=30°，
∴CF=

1

2

CD=1．
∴DF=

CD2?CF2

＝

3

；（5分）
（3）連接OE，由（2）同理可知CE=2．
∴CF=1，
∴EF=1．
∴S_{直角梯形FDOE}=

1

2

（EF+OD）?DF=

3 3

2

，
∴S_扇形OED=

60π×22

360

=

2π

3

，
∴S_陰影=S_{直角梯形FDOE}-S_扇形OED=

3 3

2

-

2π

3

．（7分）