（Ⅰ）取CD的中點K，連結(jié)MK，NK
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、K分別為AK、CD₁、CD的中點
∴MK∥AD，NK∥DD₁
∵M(jìn)K、NK?面ADD₁A₁，AD?面ADD₁A₁，DD₁?面ADD₁A₁，
∴MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁
∵M(jìn)K、NK是平面MNK內(nèi)的相交直線
∴面MNK∥面ADD₁A₁
又∵M(jìn)N?面MNK，∴MN∥面ADD₁A₁；
（Ⅱ）取A₁D₁的中點F，連結(jié)AF、EF，
則D1F

∥ .

.

CE，從而四邊形CEFD₁為平行四邊形，
∴EF∥CD₁，可得∠AEF（或其補角）為異面直線AE和CD₁所成的角 
在△AEF中，可得
AF＝

5 a

2

，AE＝

17 a

2

，EF＝CD1＝

5

a 
由余弦定理，得
cos∠AEF＝

AE2+EF2?AF2

2AE?EF

＝

8 85

85

 
∴異面直線AE和CD₁所成角的余弦值為

8 85

85

．