如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)C的切線與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，AE⊥DC交DC于點(diǎn)E． （1）求證：AC是∠EAB的平分線； （2）若BD=2，DC=4，求AE和BC的長(zhǎng)．
如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)C的切線與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，AE⊥DC交DC
于點(diǎn)E．
（1）求證：AC是∠EAB的平分線；
（2）若BD=2，DC=4，求AE和BC的長(zhǎng)．
優(yōu)質(zhì)解答
（1）證明：如圖，連接OC，
∵DE是⊙O的切線，
∴OC⊥DE．
又∵AE⊥DE，
∴OC∥AE．
∴∠EAC=∠OCA．
又∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠EAC=∠OAC．
∴AC是∠EAB的平分線．
（2）∵CD是⊙O的切線，
∴DC
2=DB?DA，即4
2=2?DA．
解得DA=8，∴AB=6．
由（1）知，OC∥AE，
∴△DCO∽△DEA．
∴
＝．
即
＝．
解得AE=
．
∵DC是⊙O的切線，
∴∠DCB=∠DAC，又∠D=∠D．
∴△DCB∽△DAC．
∴
＝=
=
．
∴AC=2CB．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC
2+BC
2=AB
2，即（2BC）
2+（BC）
2=6
2解得BC=
．
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