數(shù)列 {a(n)},設遞推公式為 a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n),則其特征方程為 x^2-px-q=0 .
若方程有兩相異根 A、B,則 a(n)=c*A^n+d*B^n (c、d可由初始條件確定,下同)
若方程有兩等根 A=B,則 a(n)=(c+nd)*A^n
回答者SKY9314 的回答準確來說是以上部分內容的證明過程：
設 r、s 使 a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)]
所以 a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n)
即,s+r=p,sr=-q,由韋達定理可知,r、s 就是一元二次方程 x^2-px-q=0 的兩根,也就是剛才說的特征根.
然后進一步證明那個通項公式：
如果r=s,那么數(shù)列{a(n+1)-r*a(n)} 是以 a(2)-r*a(1) 為首項、r 為公比的等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的性質可知：a(n+1)-r*a(n) = [a(2)-r*a(1)]*r^(n-1),
兩邊同時除以r^(n+1),得到 a(n+1)/r^(n+1)-a(n)/r^n = a(2)/r^2-a(1)/r
等號右邊的是個常數(shù),說明數(shù)列{a(n)/r^n} 是個等差數(shù)列.顯然等號右邊那個就是公差,首項也比較明顯,這里不重復了.根據(jù)等差數(shù)列性質：a(n)/r^n = a(1)/r + (n-1)*[a(2)/r^2-a(1)/r]
整理一下,并設 a(2)/r^2-a(1)/r = d ,再設 2a(1)/r-a(2)/r^2 = c ,然后把那個 r 用 A 來代,就可以得到 a(n)=(c+nd)*A^n 了.
至于那個方程有兩個不等的實根的情況,證明起來原理基本一致,就是略微繁瑣一點,這里就不多說了,lz自己試試,當成數(shù)列練習把~